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LEHRBUCH ^^^ - ^ ^
DER i ■' '//\ }\
DARSTELLENDEN GEOMETRIE,
VON
Da. CHRISTIAN WIENER.
OSH. HOFBAT UKD PROFB8BOR A« DXR QBOSSH. P0LTTBCHKI8CHEH BOHULB Zu KARL8BUHB.
IN ZWEI BÄNDEN.
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ERSTER BANJX -"
GESCHICHTE DER DARSTELLENDEN GEOMETRIE,
EBENFLÄCHIGE GEBILDE. KRUMME LINIEN (ERSTER TEIL).
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PROJEKTIVE GEOMETRIE.
MIT FIGUREN IM TEXT.
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LEIPZIG,
DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.
1884.
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THE NEW YORK
PUBLIC LIBRARY
, ASTOR LENOX AND TILDEN FüUNDATIOäSI R 1918 l'
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Vorw^ort.
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Bei der Ausarbeitung des vorliegenden Buches habe ich mir die Aufgabe gestellt, die darstellende Geometrie in ihrem ganzen wesentlichen Umfange zu behandeln und dabei so viel zu ihrer Weiterfuhrung und Vervollkommnung beizutragen, als es mir unter Benutzung der Veröffentlichungen anderer Schriftsteller und meiner eigenen Untersuchungen, sowie der in meinen Vorlesungen über diesen Gegenstand gewonnenen Erfahrungen möglich war. Neben wissenschaftlicher Strenge richtete ich mein Streben besonders auf Vereinfachung und suchte ebensowohl die Herleitungen bündig, als die Konstruktionen kurz zu gestalten. Ein wichtiges Hilfsmittel bildet dabei die projektive Geometrie, die so vielfach einfachere Entwick- lungen und Auflösungen von Aufgaben gewährt, daß sie ohne Nachteil in der darstellenden Geometrie nicht zu entbehren ist. Ich habe sie daher, da sie bei dem Studium der letzteren Wissen- schaft nicht als bekannt vorausgesetzt werden kann, soweit ihre Anwendung reicht, mit in das Gebiet der Bearbeitung hereingezogen.
Das Werk soll in zwei Bänden erscheinen, wovon der erste hier vorliegende die Geschichte der darstellenden Geometrie, die ebenflächigen Gebilde, die krummen Linien (ersten Teil) und die projektive Geometrie, der zweite die krummen Linien (zweiten Teil) und die krummen Flächen behandelt.
An einer Geschichte der darstellenden Geometrie hat es bisher ^ '» gefehlt, indem außer einer Geschichte der Perspektive von Poudra, einem Vortrage historischen Inhalts von de la Gournerie und zer- streuten Notizen nichts über diesen Gegenstand veröffentlicht wurde. Unter Benutzung dieser Quellen, hauptsächlich aber auf Grund des Studiums der wichtigsten der veröffentlichten Werke und Abhand- lungen habe ich diese Lücke auszufüllen gesucht.
Die Behandlung des eigentlichen Gegenstandes beginnt mit der Auflösung der Aufgaben über Funkt, Gerade und Ebene und über ebetiflächige Gebilde; und hierbei werden ebensowohl die zwei auf einander senkrechten Projektionsebenen mit und ohne Benutzung der Projektionsaxe , als auch die kotirten Projektionen angewendet.
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IV Vorwort.
Außerdem habe, ich eine neue Projektionsweise, nämlich diejenige mittelst zweier parallelen Spur- ufid Projektionsebenen eingeführt, welche sich bei ebenen und überhaupt bei geradlinigen' Flächen als zweck- mäßig erweist und welche bei vielen Aufgaben, z. B. bei denen über Durchschnitte von Vielflachen, erhebliche Vereinfachungen ge- währt.
In dem folgenden Abschnitte werden die Jcrummen Linien im allgemeinen und sodann die Kegelschnitte als Brennpunktskurven behandelt. Dabei wurde eine besondere Sorgfalt auf die Erörterung des UnendlicMleinen verwendet, welches ich, übereinstimmend mit Euler, gleich Null setze. Den Einwand, daß vom dem Verhältnisse zweier Größen, die Null sind, nicht gesprochen werden könne, glaube ich durch Unterscheidung von „absolut Null" und „Grenz- null" zu beseitigen. Während das Verhältnis zweier Größen, welche absolut Null sind, unbestimmt ist, wird unter dem Verhältnisse zweier Größen, welche Grenznull oder unendlichklein sind, der Grenz- wert zweier sich der Null annähernden Größen verstanden. Der- selbe wird durch eine* neue Funktion ermittelt, welche mit der früheren, jenem Verhältnisse, für jeden endlichen Wert der ab- nehmenden Größen übereinstimmt, daher denselben Grenzwert be- sitzt, sich aber darin von ihr unterscheidet, daß sie für den Null- wert derselben nicht unbestimmt wird. Vermittelst dieser neuen Funktion ist dann dem Grenzwerte bestimmt die Null als ent- sprechender Wert der abnehmenden Größen zugewiesen. Durch diese Begriffe fallen die Schwierigkeiten weg, welche das Unendlich- kleine bietet; und es^ wird nicht verlangt, sich unter der Tangente einer Kurve eine Gerade vorzustellen, welche mit der Kurve an der Berührungsstelle nur einen und zugleich zwei unendlich nahe, aber getrennte Punkte gemein hat. — Sodann wurde zur Bestimmung der Tangente einer durch ihr Entstehungsgesetz gegebenen Kurve ein geometrisches Verfahren angegeben, das allgemein anwendbar ist, während das Robervalsche nur in besonderen Fällen benutzt werden kann. Auch die Krümmungshalbmesser wurden bei vielen Kurven bestimmt und zwar meist geometrisch. Durch diese Er- mittlungen ist man häufig im stände, Kurven durch ihre ausgezeich- neten Punkte und durch die Tangenten und Krümmungskreise in denselben rascher und zugleich genauer zu verzeichnen, als es durch eine beliebige Anzahl allgemeiner Punkte möglich ist.
Im folgenden Abschnitte werden die Elemente der projektiven Geometrie entwickelt. Ich zog es vor, dieselben in einem besonderen Abschnitte zu behandeln, statt sie mit der darstellenden Geometrie zu verschmelzen, weil dabei der Aufbau ihrer Lehrsätze nicht ver-
Vorwort. V
deckt wird durch den Aufbau von Konstruktionsaufgaben, welcher den Charakter der darstellenden Geometrie bildet. Dem entsprechend verwende ich* auch bei meinen Vorträgen von den mir zu Gebot stehenden vier Wochenstunden während des größeren Teiles des Studienjahres eine auf die projektive Geometrie, wodurch zugleich der Stoff für die konstruktiven Übungen gleichförmiger verteilt wird. — In der projektiven Geometrie spielen naturgemäß die Kegel- schnitte eine Hauptrolle. Da die Sdmaren derselben bei der Dar- stellung der E[rümmungslinien der Flächen zweiten Grades auf- treten, so beschäftigte ich mich mit der Aufgabe ihrer leichten Verzeichnung und fand mehrere einfache Konstruktionen. Die erste vermittelst Hilfskegelschnitten ist besonders vorteilhaft, wenn durch dieselben die Axen der Kurven bestimmt werden. Die andere ver- mittelst eines Linien- oder Punktnetzes liefert eine beliebige Anzahl von Kegelschnitten einej: Schaar oder eines Büschels auf einmal. Dieses Verfahren ist durch die Theorie der Zickzacke, welche im allgemeinen durch zwei Kurven der Schaar bestimmt werden, be- gründet, aber auch durch die Theorie der cyklisch-projektiven Punkt- reihen mit zwei reellen oder imaginären Grenzpunkten, welche sich auf eine einzige Kurve der Schaar stützen, die durch einen Kreis ersetzt werden kann.
Sodann wurde eine Imaginärprojektion der Kegelschnitte gegeben, durch welche ein reeller Kegelschnitt in einen imaginären und ein imaginärer in einen reellen projicirt wird. Dadurch ist es z. B. möglich, einen imaginären Kegelschnitt auf unendlich viele Weisen durch einen reellen darzustellen, vermittelst dessen die Konstruktion von Pol und Polare zu dem imaginären fast eben so einfach, wie zu dem reellen ausgeführt werden kann. Durch diese Imaginär- projektion vermag man ein Büschel oder eine Schaar von Kegel- schnitten in ein anderes Büschel oder eine andere Schaar zu
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projiciren, wenn auch die Anzahlen der reellen und imaginären Grundelemente in beiden fällen verschieden sind.
Der folgende Abschnitt enthält die Beleuchtungslehre und ihre Anwendung auf ebenflächige Körper. In derselben wurde bisher zur Bestimmung der Helligkeit meist das Lambertsche oder Cosinus-Gesetz angewendet, welches auch wirklich die beste erste Annäherung an die Wahrheit gewährt. Zur Herstellung einer sicheren physika- lischen Grundlage habe ich zunächst die Ergebnisse der Unter> suchungen von Lambert, Bouguer und Zöllner verarbeitet, und es wurde dadurch möglich, die Helligkeit, welche durch die Reflexe verschiedener Körperoberflächen hervorgebracht wird, mit derselben Sicherheit zu bestimmen, wie die durch direkte Beleuchtung erzeugte.
VI Vorwort.
Die Rechnung wurde in tabellariacher Form Qbersicbtlicb tlurch- gefQhrt; und wenn sie zur Anwendung auf viele Punkte zu zeit- raubend ist, so genOgen wenige zur Bildung eines, sicheren An- haltes, zwischen welche die Helligkeiten der anderen durch mehr oder weniger eingehende Schätzung leicht eingeschaltet werden können. Da aber das Lambertsche Gesetz noch recht merklich von der Wahrheit abweicht, und da auch die in einer Beziehung weiter gehenden Versuche Bouguers zur Bestimmung der Helligkeit nicht ausreichen, so sind ausgedehntere Untersuchungen über die ver- schiedenen StofFe notwendig. Ich habe dies wenigstens für einen Stoff, den matten Gips, ausgeführt und die Ergebnisse bei der Kugel (im zweiten Bande) zur Anwendung gebracht Auch för die Nach- ahmung der Helligkeit durch Tuschlagen habe ich eine auf Beob- achtung gestützte Theorie gegeben. — Zur konstruktiven Bestimmung der Helligkeit einer ebenen Fläche wurde ein einfaches Verfahren eingeftlhrt, welches den Schlt^schatten der FalUinie der Ebene benutzt.
Die letzten Abschnitte behandeln die Axonometrie, die schiefe Projektion und die Elemente der gmöhnlicfien und der BeUefperspekiive, und geben auch die Auflösung der Grundaufgaben der darstellenden Geometrie in diesen Arten der Abbildung.
In Bezug auf die Figuren sei noch bemerkt, daß dieselben von meinen Zeicliuungen durch Photo- Zinkographie übertragen worden
Karlsruhe, 21. September 1884.
Chr. Wiener.
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Inhaltsyerzeichnis.
Die Yorgetetzten Zahlen bedeuten die Nummern.
Erster Teil.
Seite
Grandbögriffe « . . l
1, 2. Begriflf und Wesen der darstellenden Geometrie. 3. Das Projek- tionsverfahren.
I. Abschnitt.
Geschichte der darstellenden Oeometrie«
I. Altertnm und Mittelalter 5
4. VitrUYs Nachrichten. Grund- und Aufrißyerfahren der Alten. 5. Die Perspektive der Ägypter, Perser, 6. Griechen, Römer. 7. Die letzteren kannten den Fluchtpunkt und« heohachteten die Verjüngung. 8. Euklids und Heliodors Optik. Die stereographiscbe Projektion von Hipparch. 9. Die byzantinische Manier, Perspektive von Vitellio, Boger Baco, Ramus und fieußner. — Die Chinesen.
IL Die Perspektive von der Renaissance bis zum Beginn
des 19. Jahrhunderts 9
10. Die Niederlande und Deutschland. Van Eyck; Memling, Holbein u. a., Albrecht Dürer und seine Perspektive (1525). 11. Italien. Brunnelleschi, Donatello , Masaccio, Lorenzo Gbiberti. 12. Leo Batista Alberti (de piotura, vor 1446). Peruzzi. Piero della Francesca. Die großen Maler. Paul Vero- nese. 13. L. B. Alberti (quadratisches Netz, Distanzpunkt). Piero d. Fr. (Zusammenlaufen horizontaler Linien auf dem Horizonte). Viator oder Pele- grin. Albrecht Dürer (konstruirt den Schnitt der Sehstrahlenpyramide mit der Bildfläche; Schatten; Rahmen). 14. Deckengemälde von Architektur (Laurati u. a.). Peruzzi und Serlio (Theaterperspektive). Rodler, Jamnitzer, Lencker u. a. Barbaro (Theaterperspektive). Vignola (vier Distanzpnnkte). Danti. Cousin (Accidentalpunkte). 15. Ubaldi (Fluchtpunkt im allgemeinen, Spur, krumme Flächen). Stevin (Beginn der Eollineation). 16 Desargues (Eoordinatenverfahren). Bosse, AUeaume und Migon (perspektive Maßstäbe, Winkelteilung des Horizontes, Teilnngspunkt). Vaulezard (umgekehrte Auf- gaben). Battaz (Distanz- und Teilungskreis). Huret, Niceron. 17. A. Albert (Rechnung und Konstruktion). Gravesand (Eollineation, Gegenaxe, umriß von Cy linder, Kegel, Kugel, Ring u. s. w.). Brook Taylor (Verschwin- dnngspunkt und Verschwindungslinien, Verallgemeinerungen), Lacaille, Käst- ner. 18. Lambert (freye Perspective, 1759, allgem. Verfahren, Spiegelung, Schatten, Reflex u. s. w.). Zanotti (allgem. Verf., Theaterperspektive).
ni. Ausbildung des Grund- und Aufrißverfahrens und E)nt- stehung der darstellenden Geometrie in Frankreich. . 22
19. Ausbildung des Grund- und Aufrißverfahrens durch Anwendung in der Baukunst. Philibert de TOrme, Derand u. a., Desargues, de la Rue.
VIII Inhalts Verzeichnis.
S6ite
20. Fräzier, der Vorläufer Monges, entwickelt das Verfahren rein theore- tisch mit Anwendung auf kmmme Flächen und die Durchdringung der Körper (1738). 21. Topographie und kotirte Projektionen (Buache, Ducarla, Noizet u. a.). 22. Monge, der Schöpfer der darstellenden Geometrie; sein Leben. 23. Seine Werke (Erümmungslinien des EUipsoids, gdom^trie descriptive, 1795). 24. Lacroix* fast gleichzeitige Leistung (1796). 25. Hachette (Flächen zweiter Ordnung, windschiefe Flächen), Dupin (konjagirte Tan- genten), Chapuy, Vall^e, Lef^bure de Fourcy, Leroy u. a. 26. Olivier (Änderung der Projektionsebenen, Anwendungen). 27. De la Gournery (Krümmung der Flächen, Schatten der Schraubenfläche). 28. Mannheim (Kinem atik , Normalenflächen).
IV. Die neuere französische Perspektive 33
29. Cousinery (abstrakte Auffassung und Anwendungen). Thibault (künstlerisch), Adhemar. 30. De la Gournery (Restitution, Freiheiten). Bossuet (künstlerisch).
V. Die darstellende Geometrie und Perspektive in
Deutschland 35
31. Sie entsteht mit den technischen Schulen. Weinbrenner (1810). 32, 33. Schreiber (Einführung der projektiven in die darstellende Geom., malerische Perspektive). 34. Gugler, Honig, Klingenfeld (Entbehren der Projektionsaxe). Pohlke (weitere Benutzung der projektiven Geom.). 35. Fiedler (Verschmelzung der darstellenden mit der projektiven Geom., projektiye Koordinaten, Cyklographie). Schlesinger (dieselbe Verschmel- zung). 36. Tilscher (System der Perspektive), v. Peschka und Koutny (freie Perspektive). 37. Hauck (die subjektive Perspektive), Pelz (Umrisse der Flächen zweiter Ordnung), v. Peschka (darst. Geom. mit weit gehender Ausbildung der projektiven Geom.).
VI. Die darstellende Geometrie in Italien 42
88. Bellavitis (Derivationen, hervorragende Einfachheit). ^
VII. Die schiefe Projektion und die Axonometrie. . . 42
39. Schiefe Projektion y Kavalierperspektive. 40. Lambert (Ableitung aus der Perspektive), Schlesinger (weitere Ausbildung in diesem Sinne), V. Peschka (Distanzebene) , Burmester (durch Koordinatenebenen). 41. Axo- nometrie, Karsten (reducirtes Auge), Anwendung in der Krystallographie (Mohs, Breithaupt, Naumann). 42. Anwendung in der Technik, zuerst als isometrische Projektion (Farisch), Kepler projicirt den Würfel als regel- mäßiges Sechseck. Fräzier, Kästner, Brandes, Sopwitb, Möllinger. 43. Weis- bach (allgemeine Entwicklung), Skuhersky (Maßstäbe). Meyer (mit An- wendungen), Largiader. Pohlke (allgemeiner Satz über Parallelprojek- tion), Fiedler. 44. Staudigl (Identität von Konstruktionen in perspektiver, schiefer und orthogonaler Projektion), Pelz (Grundaufg. für Punkte, Gerade, Ebene), Hauck (schiefwinklige Koordinatenaxen), Tessari (Projezioni asso- nometriche), Tesaf (Aufg. zwischen den drei Winkeln und den drei Ver- kürzungsverhältnissen der Axen).
VIIL Die Eeliefperspektive 47
45. Ghiberti, Colin, Desargues. Breysig (Theorie, 1798), Poncelet (per- spective^elief, 1822), Anger. 46. Schreiber, Poudra (persp.-relief), v. Staudt (kollineare Verwandtschaft räuml. Systeme), ebenso Reye. Morstadt (Theorie und Modelle), Staudigl (Theorie in Rücksicht auf die Technik), Fiedler, Schlesinger, Hertzer. Burmester (Grundzüge, Modelle). 47. Panorama.
Inhaltsverzeiclmis. IX
Seite
Ubaldi, Parker (1787), BreyBig (1792). Diorama, Daguerre, Gropiue. Pleo- rama, Langhans and Eopisch. Cjklorama.
IX. Die Photogrammetrie 51
48. Beautemps-Beaupr^, Laussedat (topographische Aufnahme, 1861), Meydenbaner (architektonische Aufnahme), Jordan (topogr. Aufn.)) Hauck (geometr. Theorie, Zeichengestänge) , H. Ritter (Perspektograph).
X. Die Schatten- und Beleuchtungslehre 53
49. Schattenlehre. L. B. Alberti. A. Dürer. Mouge (umschriebener Kegel, Halbschatten, Glanzpunkt), Dupin (Tangente an den Eigenschatten), Hachette (Greuzpunkt) , Poncelet und Guillebon (Schraubenfläche). De la Goumerie (windischiefe Schraubenfl. aus Lichtpunkt in endlicher Entfer- nung), Bordoni (Umdrehungsfl. mittelst eingehüllter Kugel), Dunesme (eine aus einer Fläche zweiter Ordn. abgeleitete Bingfläche), Burmester (allg. Schraubenfl. mittelst Normalkurve). 50. Beleuchtungslehre. Lambert (photo- metria, 1760), Bouguer (optique, 1729, 1760), Zöllner (photometrische Untersuchungen). 51. Die yerschiedenen Theorien über Helligkeit (cos e, cos c • cos a , cos £ : cos a). 52. Die Schüler Monges (Linien gleicher Hellig- keit der Kugel, 1797, co8£ cosa), Bordoni (diese Linien auf Kugel und Ring- fläche antalytisch bestimmt, cos c), Hönig, Egle (Linien gleicher Helle in gleichförmiger Abstufung aus der Kugel für verschiedene Flächen, 1855), Cohen Stuart (Ellipsoid mit endlichem Abstand des Lichtes), Breton (Zu- sammensetzen mehrerer Parallellichtbüschel), Kammerer (Flächen zweiten Grades). 53. Tilscher (Beleuchtungskonstruktionen, 1862, die Hauptfamilien der Flächen), Koutny (Flächen zweiten Grades), Niemtschik (Flächen mit parallelen ähnlichen Ellipsen), Fiedler, Burmester (allgemein, analytisch- geometrisch, Isophoten (cos s), Isophengen (cos t cos er)).
XI. Überblick über die geschichtliche Entwicklung und die wissenschaftliche Aufgabe der darstellenden Geometrie.. 59
54. Frühere Entwicklung. Abhängigkeit der neuzeitigen Entwicklung yon derjenigen der polytechnischen Schulen. 55. Frankreich, Deutschland, Österreich, Italien. 56. Nächste Bestimmung der darstellenden Geometrie.
»
II. Abschnitt
Funkt, Qerade und Ebene in senkr echter Projektion auf zwei EU einander senkreohte Projektionsebenen.
I. Darstellung des Punktes 62
57. Verschiedene Mittel zur Bestimmung der Lage eines Punktes durch Projektionen. Senkrechte Projektion auf zwei Ebenen. 58. Das Gmnd- und Aufriß verfahren. Die Tafelabstände eines Punktes. 59. Umlegen einer Projektionsebene in die andere. 60. Die verschiedenen Lagen eines Punktes. 61. Die Halbirungsebenen. 62. Neue Projektionsebenen. 63. Die Koordi- naten eines Punktes. 64. Übungsaufgaben.
U. Darstellung der Geraden 67
65. Die Projektionen der Geraden, 66. ihre Spuren und Schnittpunkte mit den Halbirungsebenen. 67. Die Regel des Ausziehens der Linien. 68. Die verschiedenen Lagen der Geraden. 69. Übungsaufgaben.
III. Darstellung der Ebene 7.1
70. Durch ihre Spuren. Verschiedene Lagen. 71. Übungsaufgaben.
X Inhaltsveizeichnis.
Seite
lY. Gerade durch gegebene Punkte und Ebenen durch
gegebene Punkte und Gerade zu legen 72
72. Das unbestimmt und das bestimmt unendlich Große. 78. Der ein- zige bestimmt unendlich ferne Punkt einer Geraden, und die einzige be- stimmt unendlich ferne Grerade einer Ebene. 74. Ihre Gemeinsamkeit für parallele Gerade und Ebenen. 75. Sätze. 76 Darstellung einer durch zwei Punkte gehenden Geraden uud 77. einer durch drei Punkte gehenden Ebene; 78. unendlich ferne Bestimmungsstücke. 79. Übungsaufgaben.
V. Durchschnitte von Ebenen und Geraden 76
80. Zwei Ebenen, 81. eine Gerade und eine Ebene, wenn eine Ebene durch ihre Spuren gegeben ist, 82. zwei Gerade. 83. Übungsaufgaben.
YI. Verschieben und Entbehren der Projektionsaxe. . 78
84. Verschieben und Entbehren der Aze. 86. Schnitt von Gerade und Ebene und von zwei Ebenen, wenn eine Ebene durch die Projektionen zweier Geraden derselben gegeben ist.
Vn. JLbstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen.. 80
86. Sätze über Gerade und Ebenen, die zu einander senkrecht oder parallel sind. 87. Haupt- und Falllinien einer Ebene. 88. Die zu einer Ebene senkrechte Gerade. 89. Drehung, Umlegnng. 90. Abstand zweier Punkte, 91. eines Punktes von einer Ebene, 92. eines Punktes von einer Geraden. 93. Eine Strecke zwischen einen Punkt und eine Gerade zu legen. 94. Abstand zweier Geraden. 95. Übungsaufgaben.
VIII. Winkel zwischen Geraden und Ebenen. ... 87
96. Der Winkel zweier Geraden; 97. seine Veränderung durch Pro- jektion. 98. In einer Ebene unter gegebenem Winkel gegen eine Gerade eine Gerade zu legen. 99. Übungsaufgaben. 100. Der Winkel einer Ge- raden mit einer Ebene. 101. Die Tafelneigungen einer Geraden. 102. Ver- kürzungsverhältnis. 103. Eine Gerade unter gegebenen Tafelneignngen zu legen. 104. Übungsaufgaben. 105. Der Winkel zweier Ebenen. 106. Die Tafelneigungen einer Ebene. 107. Eine Ebene unter gegebenen Tafel- neigungen zu legen. 108. Übungsaufgaben.
IX. Änderung der Projektionsebenen 94
109. Übergang auf zwei neue zu einander senkrechte Projektions- ebenen. 110. Anwendung auf die Bestimmung des Abstandes zweier Ge- raden. 111. Übungsaufgaben.
IIL Abschnitt Benutzung einer einzigen FrojektionBebene.
I. Zwei parallele Spurebenen 98
112. Darstellung der Geraden, der Ebene, des Punktes. 113. Auf- gaben über Schnitte, 114. über den Abstand eines Punktes von einer Ebene, 115. den Winkel einer Geraden mit einer Ebene.
IL Eotirte Projektionen 100
116. Darstellung von Punkt und Gerade. 117. Durch zwei Punkte eine Gerade zu legen. 118. Aufgaben über die Gerade. 119. Darstellung d^r Ebene; Aufgaben. 120. Übungsaufgaben. 121. Aufgaben über Schnitte, 122. über eine Senkrechte zu einer Ebene.
InhaltsrerzeichDiB. XI
Seite
IV. Abschnitt. Ebenfläohige Gebilde.
L Das Dreikant 105
123. tiEant, Dreikant. 124. Scheitel-, Nebendreikant. 125. Symme- trie in Bezug auf einen Punkt, eine Gerade, eine Ebene. 126. Polardrei- kant. 127, 128. AuflÖBung des Dreikants mit den drei Seiten er, ß, y und den drei Winkeln A, B, 0, wenn gegeben sind 1) a, ß,y; 129. 2) a, ßj 0; 130. 3) a, j3, B; 131. 4) y, J, B; 132. 5) ft J., B; 133, 134. 6) A, B, 0. 135. Übungsaufgaben. 136. Die Grundgleichungen der sphärischen Tri- gonometrie.
II. Ebene Vielecke 114
137. Begriffe. 138. Winkel. 139. Ableitung der einen Projektion des ebenen Vielecks aus der anderen. 140. Affinitöt. Die beiden Projektionen eines ebenen Vielecks, sowie 141. seine Projektion und Ümlegung in die Projektionsebene sind perspektiv affin. 142. Übungsaufgaben. 143. Aus einer Projektion und einer ähnlichen Gestalt eines Dreiecks seine zweite Projektion zu bestimmen. 144. Übungsaufgaben. 145. Der Flächeninhalt der senkrechten Projektion eines ebenen Vielecks.
III. Die Vielflache im allgemeinen 119
146. Begriffe. Ausziehen und Punktiren. 147. Ein geneigtes recht- winkliges Parallelepipedum , 148. eine geneigte regelmäßige Sternpyra- mide nach gegebenen Maßen darzustellen. 149. Übungsaufgaben.
IV. Lösung von Aufgaben über Vielflache mittelst
geometrischer Orter 122
150. Eine dreiseitige Pyramide aus ihren gegebenen sechs Kanten darzustellen. 151. Um und 152. in eine gegebene dreiseitige Pyramide eine Kugel zu beschreiben. 153. Übungsau^aben.
V. Die regelmäßigen Vielflache im allgemeinen. . . 126
154. Begriff und Sätze über das regelmäßige Vieleck, 155. über die regelmäßige Ecke, 156. über das regelmäßige Vielflach.
VI. Die 'regelmäßigen Vielflache erster Art. (Platonische
Körper.) 128
157. Die fünf regelmäßigen Vielflache in beiden Projektionen zu ver- zeichnen, wenn sie auf einer Seite aufstehen; Vierflach, Sechsflach; 158. Achtflach; 159. Zwölfflach; 160. Zwanzigflach; 161. wenn sie auf einer Ecke gerade aufstehen; Vierflach; 162. Secheflach; 163. Achtflach; 164. Zwölfflach; 165. Zwanzigflach. 166. Übungsaufgaben.
VII. Die regelmäßigen Vielflache höherer Art. (Regel- mäßige Sternvielflache.) 135
167. Ihre Ecken fallen mit den Ecken und ihre Seiten mit den Seiten von regelmäßigen Vielflachen erster ^^t zusammen. 168. Es gibt nur vier regelmäßige Vielflache höherer Art. 169. Verzeichnung derselben. Zwanzig- eckiges Stemz wölfflach. 170. Zwölfeckiges Stemzwölfflach. 171. Stern- eckiges Zwanzigflach. 172. Stemeckiges Zwölfflach. 173. Reciprocität der regelmäßigen Vielflache. 174. Übungsaufgaben.
Vni. Ebene Schnitte der Vielflache 144
175. Die Verfahren. 176. Allgemeiner Fall. 177. Prismatische Fläche und Prisma. 178. Ebener Schnitt eines Prismas, seine wahre Gestalt, Netz des Prismas. 179. Pyramidale Fläche und Pyramide. 180. Ebener
XI 1 Inhaltsverzeichnis.
Seite
Hclitiiii einer VytAuiido, wahre Gestalt and Netz. 181. EoUineation zweier ebimeu Hchnitte einer pyramidalen Fläche. 182. Obungsaofgaben.
IX. Durchschnitt zweier Vielflache 149
1H8. Die Vorfahren. Arten der Schnittfigur. 184. Schnitt einer drei- Mfiiti((i*n l'yrainidi) mit einem dreiseitigen Prisma. 186. Schnitt eines regel- tttiUÜK<^n Afilitäach« mit einem dreiseitigen Prisma. Vergleich verschie- fliin(«r Vorfahnu). t80. Schnitt zweier Prismen mit Grandfiguren in derselben Klinno. 1H7. Hflhiiitt zweier Pyramiden mit Grandfigaren in verschiedenen Kbütiim. 18H. übungHaufgaben.
V. Abschnitt.
Dio Xurvon im allgemeinen und die Kegelsohnitte als Brennpunktikurven im besonderen.
1. Degriff, Stetigkeit und Tangente der Kurven.
Das Unendlichkleine 167
IHU. Hogi'itVo. U)(). Stctigkoit und Unstetigkeit einer Kurve. Die loga- nlhiniHrlio I^inio. IUI. Dio Tungonte. 192. Das Unendlichkleine. 193. Ein- lUolit« Punkte inil i«in odor zwoi Tangenten. 194. Punkte mit unendlich viobMi 'rMMgontoti. AusgoKiMchneto Tangenten. 196. Mehr&che Punkte. lUO. HtutigiuMt oinor Kurve in Hozug auf die Tangente. 197. Das Ver- «0iohntni dtM* Kurve auN kounti^uirton Punkten.
II. Kbouo Kurven. Tangente, Normale 165
mn, UIU. Dio Tangente an eine vorioiohnote Kurve aus einem außer- halb dor«oUion gogoUnuMi P\inkte. 300. Dio Fehlerkurve. 201. Die Tan- gf»ut«» oiiu»r vor*i»iohiioten Kurve in einem gt'gebouen Punkte derselben. ^{\^ Dio Normftlo einov Kurvo aus tumnu auiiiorhiüb derselben gegebenen Punkte. UO^I. Dil» Aitympioto. \k04 Hestimniung der Tangente an eine Kurvo \M\n ointMu gvgobouen Knt-wtohungsgesots mittelst der Grensge^talt «»iuo« VuMookn odor oiuon Droiookn, 306. D;is Robervalsche Verfahren und »oiuo MUng^^U •
lll. Dil» KogeUohnitte als Hrenn^uiuktskurven. . . . 172
30A. Kiutoihnv^ ^^^«% ^^^^> l^^** l%lli)Kso. Konstruktion« Benennungen. \Ji>\^ tX\ Dio ranniMito» ilut» KimMruktiou Wi g\*gt?Wnem Punkte der- *olW« wuf odo^ rtuUribulb dov Kuvvo. 313. Hosondoihoit^^u. 21S, 214, Die U>|»ovM. Vt\ 3 UV Dio THUiiVi\to, 3tT» Dio A^vm^tot^w. dio ideelle Aie. 3tS Di<> IV«bol. 3t\V \h\^ r«u\gtM\to, 330 Dio Nv^ruuiio. d.e SArheitel- glov\'Km\g dov Prt\rtbol 33t Kou»tn»ktiou d*r Tun^rtniuv 3:?5, tl!:p«, llv\Hn-Wi, IN^\^bol äK Ku\nou do^solbou Art ^3», Dioso Kurver. **,$ Chter d*v» Mutvl^'uukh^ 0^00» Kiv\PO'*^ >Äolobov \l\uvU einen ft\.ten IV.nki crht uwd oiiwt^u iWUu Kun» WuM\rt V*M Audow KowslniVtion der rju^.genten au» %MUom au.vvbHlb hn^Amm^ou Punkte
IV Kekl\t\kMtiv>u \^M\ Kuv>ow, wobst swei .Kr.bjkucen \\be\ ^onAue* K\M\*Uuuo»\ unxi d** V*ue«d.;v hVleice. . l^
33> U'^^urt' dev Knv»{V e\Ot\ k\nmw\,n l \uu\ 3C^ K*k::rVA:'\>r. o.« Kw\>>^ U'.'d dv^, K\v\xK^j;vw 3V? K\KMt V^^nou ^\vn K^^^^r, v\t>> Kre:$<$ \\^d Nao*o\<v\ K.^^x>^>\ duuh W »\u\\^.^\;>u k^\\\ov >j*owhor Ss^rt^x
iDhaltfiverzeiclixiis. XIII
Seite
y. Die Erummnng der Eurvei)» Das Unendlichkleine
höherer Ordnung 193
230. Begriff. Stetigkeit von der dritten Ordnung. 231. Der Krüm- mnngskreiB und sein Mittelpunkt als Schnittpunkt zweier benachbarten Normalen. 232. Unendlich kleine Größen , entstanden durch ' Teilung. 233. Unendlich kleine Größen verschiedener Ordnung. 234. Das Weg- lassen unendlich kleiner Größen höherer Ordnung. 235. Der Erümmungs- kreis geht durch drei benachbarte Punkte der Eurve. 236. Die Ordnungen der hier auftretenden unendlich kleinen Größen. 237. Die Evolute. 238. Die Evolvente, äquidistante Eurven. 239. Bestimmung des Erümmungshalb- messers einer verzeichneten Eurve. 240. Der Eontingenzwinkel. 241. Der Erümmungskreis schneidet im allgemeinen zugleich die Eurve. n punktige Berührung.
VI. Die singulären Punkte der Eurven 204
242. Rückkehrpunkt und Bückkehrtangente. 243. Wendepunkt, 244. Spitze erster Art, 245. zweiter Art, 246. gewöhnlicher Punkt, und jedes- maliger Erümmungshalbmesser. 247. Vielfacher Punkt 248. Isolirter Punkt
VII Die Erümmungshalbmesser und Evoluten der Eegel-
schnitte 208
249. Eonstruktion des Erümmungshalbmessers; 250. für die Scheitel. 251. Die Evoluten; diejenige der Apollonischen Parabel ist eine Neilsche Parabel.
VIII. Über unebene Eurven und die Projektionen von
Eurven '. 211
252. Begriffe. 253. Die Tangente und ihre Projektionen. 254. Affinit&t der beiden Projektionen einer ebenen Eurve. 255. Bestimmung der Schmie- gungsebene. 256. Bestimmung der Schnittpunkte einer Eurve mit einer Ebene. 257. Die Rückkehrelemente einer unebenen Eurve (acht Fälle), 258. und ihre Darstellung auf der Schmiegungs-, Normal- und rektifici- renden Ebene. 259, 260. Die Charaktere dieser Projektionen. 261. Aus dem Erümmungshalbmesser einer ebenen Eurve denjenigen ihrer Gentral- projektion zu bestimmen. 262. Fall der Parallelprojektion.
VI. Abschnitt Projektive Qeomptrie.
I. Projektive Beziehung zwischen gerader Punktreihe^
Strahlenbüschel und Ebenenbüschel 221
263. Begriffe. Die einförmigen oder Grundgebilde der ersten Stufe. 264, 265. Die Regel des Vorzeichens. 266, 267. Das Teilungsverhältnis eines Punktes. 268. Das Doppelverhältnis. 269. Diese Begriffe für die Strahlenbüschel. 270. Perspektiv und projektiv. 271. Gleichheit ent- sprechender Doppelverhältnisse in projektiven Punktreihen und Strahlen- bflscheln. 272. Perspektive und projektive einförmige Gnindgebilde. 273. Bestimmung der projektiven Beziehung durch drei Paare entspre- chender Elemente. 274. Bedingung für Perspektive Lage. 275, 276. Pro- jektive Gebilde in Perspektive Lage zu bringen. 277. Die Projektivität folgt aus der Gleichheit entsprechender Doppelverhältnisse. 278. Mehrere projektive- Gebilde. 279. Vertauschbarkeit zweier Paare von Elementen. 280. Satz über Gegenpunkte. 281. Ähnliche und gleiche Punktreihen. 282. Rechtwinkelpaare. 283, 284. Vierte entsprechende Elemente in pro- jektiven Punktreihen und Strahlenbüscheln zu konstruiren. 285. Recipro- citftt oder Dualität. Vollständiges Viereck und Vierseit.
XIV Inhaltsverzeichnifl.
8«ito
II. Harm6niBche Gebilde. 234
286. BegnS: Ein Doppel Verhältnis ist «= — 1. 287. Hannonische Ge- bilde sind unter einander projektiv. 288. Yertauschbarkeit zweier zageord- ' neten Elemente. 289. Mittlere harmonische Proportionale. 290. Harmo- nische Reihe! 291. Harmonische Gebilde am vollständigen Viereck and Vierseit. 292. Besonderes harmonisches Strahlenbüschel. 293. Das vierte harmonische Element zu konstmiren. 294. Von vier harmonischen Pankten beschreiben zwei bewegliche nicht zageordnete projektive Beihen. 295. Ü bangsauf gaben.
ni. Involution; imaginäre Elemente 239
296, 297. Begriff nnd Satz über involutonsche Gebilde. 298. Doppel- elemente. . 299. Mittelpunkt, Potenz der Involution. 300. Konjngirte imaginäre Elemente. Ideelle Doppelelemente. 301. Harmonische Trennung zugeordneter Elemente durch Doppelelemente. 302. Aufgaben über in- volutonsche Gebilde.
IV. Eollineation ebener Systeme 243
303. Grundgebilde der zweiten Stufe: Ebenes System und Strahlen- bündel. 304. Perspektive Lage kollinearer ebener Systeme; Gegenaxe. 306. Zwei Perspektive ebeue Systeme bleiben bei Drehung um ihre Kol- iineationsaze perspektiv. 306. Ihre Vereinigung in einer Ebene. 307. Sie bestimmen sich gegenseitig, 1) durch Mittelpunkt 0, Axe «, zwei ent- sprechende Punkte ; 2} und 3) durch zwei in Bezug auf 0 oder 8 Perspek- tive Dreiecke. 308. Verschiedene Lagen zweier Perspektiven Dreiecke. 309. Gegenseitige* Bestimmung zweier kollinearen Systeme durch zwei entsprechende Vierecke oder Vierseite. 310. Zwei Vierecke in Perspektive Lage zu bringen. 311. Charakteristik der Eollineation, involutorische Systeme. 312. Besondere Fälle der Eollineation. 313. Affinität (und Sym- metrie). 314. Ähnlichkeit. 316. -Eongruenz. 316. Übungsaufgaben.
V. Erzeugnisse projektiver Strahlenbüschel und Punkt- reihen in einer Ebene 253
317. Der Ereis, aus zwei projektiven Strahlenbü schein oder Punkt- reihen entstanden. 318. Übertragung dieser Entstehuog auf die Ereis- projektionen (Eegelschnitte). 319. Umkehrung: Zwei projektive Strahlen- büschel oder Punktreihen erzeugen eine Ereisprojektion. 320—322. Eon- struktion der Eegelschnitte aus fünf gegebenen Punkten oder Tangenten. 323. Entstehung der Eegelschnitte durch bewegliche Dreiecke oder Drei- seite. 324. Sätze von Pascal und Brianchon. 325. Ein- und umschriebene Sechs-, Fünf-, Vier-, Dreiecke und -Seite. 326, 327. Bestimmung der Doppelelemente in zwei Strahlenbüscheln oder zwei Punktreihen mit ge- meinschaftlichem Träger. 328. Einen durch fünf Elemente gegebenen Eegelschnitt auf einen ümdrehungskegel zu legen. 329—381. Eine Ebene schneidet einen Umdrehungskegel in einer Ellipse, Hyperbel oder ParabeL 332. Unendlich ferne Punkte der Eegelschnitte. 333. Sätze über die Leitlinien der Eegelschnitte. 334. Der FokalkegeUchnitt als Ort der Spitzen der durch einen Eegelschnitt gelegten Umdrehungskegel. 335. Die Projektion eines Eegelschnittes ist wieder ein Eegelschnitt 336. Eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel wird in einer Ebene erzeugt durch zwei projektive Strahlenbüschel oder 337. Punktreihen. 338. Die Eegelschnitte sind von der zweiten Ordnung nnd Elasse. 339. Übungsaufgaben.
VI. Pol nnd Polare zu einem Eegelschnitte 271
340 Begriff und Eonstruktion von Pol und Polare. 341. Die bezeich- nenden Eigenschaften. 342. Die Polaren der Punkte einer Geraden und
lohaltsverzeichnis. XY
Seite
die Pole der Strahlen aus einem Punkte. 348. Die gerade Punktreihe *imd das Büschel ihrer Polaren sind projektiv. 344. Konjngirte Punkte und Gerade, und ihre Involution auf einer Geraden und in einem Strah- lenbüschel. 345. Polardreieck. 346. Involution der Punkte und Tangenten eines Eegelkchnittes. Mittelpunkt und Axe der Involution. 347—360. Auf- gaben über Involution.
VII. Konstruktion eines Kegelschnittes au6 imaginären
Elementen 279
361. Den Kegelschnitt zu konstruiren, wenn von den fünf gegebenen Punkten oder Tangenten drei reell und zwei imaginär, 362. ein Element reell und vier imaginär sind.
yin. Beciprocität in der Ebene 280
363. Sätze der Reciprocität. Die Direktrix. 364. Übungsaufgaben.
IX. Konjngirte Durchmesser der Kegelschnitte. . . . 282
366, 366. Durchmesser, reelle und imaginäre. 367. Der Mittelpunkt. 368. Konjngirte Durchmesser, die Azen. 369. Konjngirte Durchmesser als Diagonalen eines umschriebenen, oder als parallel zu den Seiten eines ein- geschriebenen Parallelogramms. 360. Konjngirte Durchmesser der Hyperbel werden durch die Asymptoten harmonisch getrennt. 361. Satz über die Durchmesser der Parabel. 362. Von der Ellipse: das parallel zu konju- girten Durchmessern umschriebene Parallelogramm; 363. die Gleichung; 364. die Summe der Quadrate konjugirter Durchmesser. 365. Von der Hyperbel: das Dreieck der Asymptoten und einer Tangente, die Asymp- toten-Gleichung; 366. die ideellen Durchmesser; 367. die konjugirten Hyperbeln und 368. ihre umschriebenen Parallelogramme; 369. Beziehung zwischen zwei konjugirten Durchmessern; 370. Gleichung in Bezug auf dieselben; 371. Konstruktion einer Koordinate aus der anderen.
X. Lösung von Aufgaben über die Kegelschnitte mittelst
der Kollineation 289
872. Die Ellipse zu verzeichnen aus beiden Azen, 373. aus zwei kon- jugirten Durchmessern, 374. mittelst des Bildes eines umschriebenen regel- mäßigen Achi- oder Zwölfecks. 376. In einem verzeichneten Kegelschnitte konjngirte Durchmesser u. s. w. zu bestimmen. 376. Aus zwei konjugirten Durchmessern einer Ellipse zu einefti weiteren Durchmesser den konjugirten zu bestimmen. 377. Die Azen einer Ellipse aus zwei konjugirten Durch- messern, 378. aus fünf Punkten der Kurve zu bestimmen. 879. Von einer Hyperbel aus den Asymptoten und einem Punkte die Azen u. s. w. zu bestimmen. 380. Von einer Parabel aus zwei Punkten und dem Durch- messer und der Tangente in einem derselben die Aze u. s. w. zu bestimmen. 381, 382. Einen Kegelschnitt aus drei Punkten und den Tangenten in zweien zu bestimmen. 383. Konstruktion eines Kegelschnittes aus fünf gegebenen Punkten desselben. 384. Schnittpunkte eines durch fQnf Punkte gegebenen Kegelschnittes mit einer Geraden.
XI. Sätze über Perspektive Lage, die Brennpunkte, die Ähnlichkeit und die Krümmungsmittelpunkte
der Kegelschnitte 299
386. Perspektive Kegelschnitte. 386. Zwei Kegelschnitte einer Ebene, welche einen Punkt 0 oder eine Gerade 8 mit einer Involution gemein- sam konjugirter Elemente besitzen, liegen perspektiv mit zwei Mittel- punkten und zwei Azen der Kollineation, darunter 0 bezw. %. 387. Ähn- liche und ähnlich liegende Kegelschnitte. 388. Bei einem Kegelschnitte sind die Punkte rechtwinkliger Involution konjugirter Strahlen die Brenn-
XYI InhaltaverzeicImiB.
B«ito
punkte (zwei reelle und vier imaginäre). 389. Die Leitlinien sind die Polaren der Brennpunkte. 390, 391. Konstruktionen der Krümmungsmittel- punkte der Kegelschnitte, begründet durch die Steinersche Parabel, 392. aus den Linien der Normale und der Axen, 393. aus der verzeich- neten Kurve. f
XII. Allgemeines über die Büschel und Schaaren von
Kegelschnitten 307
394. Begriff. Solche von derselben Art lassen sich auf einander pro- jiciren. 895. Involution auf einer das Büschel schneidenden Geraden (drei Fälle). 396. Projektive Reihen auf Geraden, die durch Grundpunkte gehen. 397. Zugeordnete Punkte in Bezug auf ein Kegelschnittbüschel. 398. Konstruktion des gemeinschaftlichen Polardreiecks zweier Kegel- schnitte in einer Ebene. 399. Ausführung. Beeile und imaginäre Eck- punkte und Seiten.
XIII. Konjugirte Kegelschnitte und Imaginärprojektion. 315
400. Ideelle Sehne eines Kegelschnittes in Bezug auf einen Punkt. 401. Die konjugirte Kurve eines Kegelschnittes in Bezug auf einen Punkt ist wieder ein Kegelschnitt. Diese Beziehung ist gegenseitig. 402. Art der Kurven. Eeciproke Begriffe in Bezug auf eine Gerade. 403. Konju- girte Kegelschnitte sind gegenseitig Imaginärprojektionen mit der Charak- teristik i. 404. Drei reelle konjugirte Kegelschnitte in Bezug auf ein gemeinschaftliches Polardreieck. 405. Der zu einem Kegelschnitte in Bezug auf einen inneren Punkt konjugirte Kegelschnitt ist imaginär. 406. Das Polarsystem eines imaginären Kegelschnittes. 407. Von den vier in Bezug auf ein gemeinschaftliches Polardreieck konjugirten Kegel- schnitten ist einer imaginär. 408. Ein imaginärer Kegelschnitt kann durch oo' reelle Kegelschnitte (seine ideellen Darstellungen) dargestellt werden. 409. Die Schnittpunkte und gemeinschaftlichen Sehnen zweier Kegelschnitte einer Ebene. 410. Die Bestimmung der letzteren bei imagi- nären Schnittpunkten. 411. Bestimmung des Eckpunktes des gemeinschaft- lichen Polardreiecks, durch welchen die gemeinschaftlichen Sehnen gehen. 412. Reciprokes für gemeinschaftliche Tangenten. 413. Übungsaufgaben.
•
XYI. Verzeichnung von Kurven einer Schaar oder eines Büschels von Kegelschnitten mittelst flilfskegel-
schnitten 325
414. Kurven einer Schaar von Kegelschnitten in ein gegebenes Vier- seit zu verzeichnen. 1) Das Vierseit ist imaginär. 415. Ein Hilfskegel- Bchnitt. 416. Verlauf der reellen und 417. der imaginären Kurven der Schaar. 418. 2) Das Vierseit ist reell. 419. Die drei Hilfskegelschnitte. 420. Verlauf der Kurven. 421. 3) Im Vierseit sind zwei Seiten reell, zwei imaginär. 422. Kurven eines Büschels von Kegelschnitten durch vier gegebene Punkte zu legen. 1) Die vier Punkte sind imaginär; 423. 2) sie sind reell; 424. 3) zwei sind reell, zwei imaginär.
XV. Verzeichnung von Kurven einer Schaar oder eines
Büschels von Kegelschnitten mittelst Netzen. . . . 336
425, 426. Sätze zur Bestimmung von Punkten einer zweiten Kurve aus einer ersten gegebenen einer Schaar und den zwei Mittelpunkten der Büschel gemeinsam konjugirter Strahlen. 427. Der Zickzack zwischen zwei Kurven einer Schaar. 428. Bezeichnungen. 429. Eigenschaften der Zickzacke. 430. Netz und Doppelnetz. Gleichzeitige Bestimmung be- liebig vieler Kurven der Schaar durch das Netz. 431. Asymptotische Annäherung des Zickzacks an eine Grenzgerade. 432. Sich ergänzende
Inhaltsverzeiclinis. XVII
Seite
Zickzacke. 433. Durch einen gegebenen Punkt eine Kurve der Schaar zu legen. 434. Regelmäßige Netze. 435. Kurven einer Kegelschnittschaar zu verzeichnen. 1) Die vier Seiten des Vierseita sind imaginär. 436. Be- sonderer Fall der kon fokalen Kegelschnitte; Netz konzentrischer Kreise. 437. Geradliniges Netz bestimmt durch zwei Kegelschnitte. 438. Andere Art der Bestimmung des Netzes. 439. Allgemeiner Fall der vier imagi- nären Seiten. 440. 2) Im Vierseit sind zwei Seiten reell, zwei imaginär; besonderer Fall; 441. allgemeiner Fall. 442. 3) Es sind vier Seiten reell. 443. Kurven eines Kegelschnittbüschels zu verzeichnen. 1) Die vier Grund- punkte sind imaginär; 444. 2) die vier Grundpunkte sind reell : 445. 3) zwei Grundpunkte sind reell, zwei imaginär; besonderer Fall; 446. all- gemeiner Fall, gelöst durch cyklisch- projektive Strahlenbüschel. 447. Kur- ven einer Kegelschnittschaar mit zwei reellen und zwei imaginären Tan- genten mittelst cyklisch-projektiver Pnnktreihen zu verzeichnen.
XVI. Die cyklisch-projektiven Punktreihen und ihre Anwendung auf Kegelschnittschaaren und Büschel. . 367
448. Die cyklisch-projektiven Punktreihen auf einem Kegelschnitte; Begriff. 449. Ihre verschiedenen projektiven Beziehungen zu sich selbst. 450. Axe, Pol und Grenzpunkte der Reihe. 451. Alle Verbindungslinien von je zweien Punkten mit derselben Summe der Stellenzahlen gehen durch denselben Punkt; Involution. 452. Aus vier gegebenen auf ein- ander folgenden oder Grenzpunkte enthaltenden Punkten die Reihe zu ergänzen. 453. Projektiv gleiche Teile des Kegelschnittes. Halbiren eines Teiles. 454. Teilen in n projektiv gleiche Teile. 455. Die Punkt- reihe ohne reelle Grenzpunkte ist Projektion einer gleichteiligen Punktreihe eines Kreises. 456. Schließen und Nichtschließen der Reihe. 457. Den Umfang eines Kegelschnittes in n projektiv gleiche Teile zu teilen, wenn n =» 2»», 8 • 2m oder beliebig. 458. Eine cyklisch-projektive Punktreihe mit einem einzigen Grenzpunkte ist harmonisch. 459. Die harmonigch zugeordnete Reihe. 460. Eine cyklisch-projektive Punktreihe ist durch vier beliebige bezifferte Punkte von ihr oder von ihrer harmonisch zu- geordneten Reihe bestimmt. 461. Cyklisch-projektive gleiche Punktreihen. Ihre gleichen oder ungleichen Richtungen. Unterscheidung der beiden imaginären Grenzpunkte durch den Bewegungssinn. 462. Eine zu. einer gegebenen gleiche cyklisch-projektive Punktreihe auf einem Kegelschnitte ist durch einen ihrer Punkte gegeben. 463. Hilfssatz über zwei sich doppelt berührende Kegelschnitte. 464. Die Sehnen projektiv gleicher Bogen eines Kegelschnittes werden von einem anderen Kegelschnitte ein- gehüllt. 465. Bildung der Netze zur Verzeichnung von Kurven einer Kegelschnittschaar durch gleiche cyklisch-projektive Punktreihen auf einer der Kurven. 466. Einzige Punktreihe. Regelmäßiges Netz.
XVn. Imaginäre Projektion zweier Büschel oder zweier Schaaren von Kegelschnitten auf einander, wenn die An- zahlen ihrer reellen Grundelemente verschieden sind. . 382
«
467. Gleichzeitige Konstruktion von Kurven eines Kegelschnittbüschels, von welchem die vier Gnmdpunkte gegeben sind, mögen diese alle oder zum Teil reell oder imaginär sein. 468. Unterscheidung der Kurven der verschiedenartigen Büschel. 469. Zwei Kegelschnittbüschel mit vier reellen oder mit vier imaginären, sowie zwei solche mit zwei reellen und zwei imaginären Grundpunkten sind Imaginärprojektionen von einander nach der früheren Auffassung. 470. Zwei solche mit vier reellen oder vier imagi- nären Grundpunkten sind in etwas verallgemeinerter Anschauung Imagi- närprojektionen von solchen mit zwei reellen und zwei imaginären
Wiener, Lehrbuch der darstellenden Ooomctric. b
XVIIl InbaltsverzeichniB.
Seite
GrundpunkteD. 471. Verallgemeiiierte Anschauung für alle Fälle. 472. Be- ciproke Entstehung der verschiedenen Eegelschnittschaaren und 473. ihre gegenseitige Imaginärprojektion.
VII. Abschnitt.
BeleuchtUDgslehre mit ihrer Anwendung auf ebenfläohige
Körper.
I. Physikalische Grundlage der Beleuchtungslehre. . 390
474. Licht, Eigen- und Schlagschatten. 475. Bestimmung der Beleuch- tungsstärke. 476. Spiegelnde und matte Eörperoberflächen. 477. Die Helligkeit eines Flächenelementes. Sie ist unabhängig von der Entfer- nung des Gegenstandes vom Aoge, wenn diese weniger als 500 m beträgt; sie steht mit der Beleuchtungsstärke in Verhältnis. 478. Beziehung der Helligkeit zu der Sehrichtung oder dem Ausfaliwinkel des Lichtes. Nach dem Lambertschen Gesetze ist sie davon unabhängig. 479. Bouguers Ver- suche. 480. Ihre Deutung. Sie verändern das Lambertsche Gesetz zum Teile. 481. Boaguers Beobachtungen reichen znr Konstruktion nicht aus. Beobachtungen des Verfassers. 482. Benutzung des Lambertschen Ge- setzes. 488. Das Bückstrahlungsvermögen. Formeln für die durch direkte Beleuchtung hervorgebrachte Helligkeit. 484. Formeln für die Jnrch Reflex hervorgebrachte Beleuchtungsstärke. 485. Bestimmung des Be- lenchtungsraumes einer geradlig begrenzten reflektirenden Fläche. 486. For- meln für die durch Beflex hervorgebrachte Helligkeit. 487. Das Bück- strahlungsvermögen verschiedener Körper. 488. Beleuchtung dnrch die Atmosphäre. 489. Bestimmung der Gesamthelligkeit eines Flächeneie- mentes. 490. Einige Regeln in Bezug auf die Helligkeit. 491. Einfluß einer größeren zwischenliegenden Luftschicht auf die Helligkeit. 492. Der Halbschatten. 493. Wirkung des Gegensatzes (Kontrastes).
II. Nachahmung der Helligkeit durch Tuschlagen. . . 408
494. Versuche. Die notwendige Anzahl von Tuschlagen steht im Ver- hältnisse nicht mit dem reciproken Werte der Helligkeit, sondern 495. mit dem Logarithmus dieses Wertes. Bestimmung der Konstanten. 496. Ab- leitung und 497. Beschreibung des Verfahrens des Tuschens.
III. Bestimmung des Schattens und der Helligkeit von
ebenflächigen Körpern bei Parallelbeleuchtung. . . 413
498. Bestimmung der Beleuchtungsstärke einer Ebene durch deu Schlagschatten ihrer FaUlinie auf eine Projektionsebene. 499. Schatten- bestimmung durch das Verfahren der Hilfsebene. Beispiel einer Pyramide und eines Prismas. 500. Bestimmung der Reflexhelligkeit. 501. Schatten- bestimmung mittelst der Profilebene. Beispiel zweier Prismen. 502. Schatten- besiimmung vermittelst des Schattens einer Linie auf eine andere. Bei- spiel eines Sternes. 503. Bestimmung der durch unmittelbare Beleuchtung hervorgebrachten Helligkeit durch die Schattendreiecke. 504, 505. Bestim- mung der Reflexhelligkeit bei verschiedenen Rückstrahlungsvermögen der verschiedenen Körper.
VIII. Abschnitt. Axonometrisohe und schiefe Projektion.
I. Die Axonometrie 427
506. Die Axonometrie liefert die senkrechte Projektion eines Gegen- standes durch die rechtwinkligen Koordinaten seiner Punkte. 507. Das Axenkreuz, das Spurendreieck, die Axenmaßstäbe , der Strahlenmaßstab,
Inhaltsverzeichnis. XIX
Seite die Verh'ältnis Winkel. 508. Abbildung des Würfels mit den eingeschrie- benen Kreisen seiner Quadrate. 509. Abbildung eines Grabkreuzes und seines Schattens. 510. Beziehungen der Verkürzungsverhftltnisse und der Verhältniszahlen. 511. Ans den Richtungen der Axenprojektionen die Verkürzungsverhältnisse zu bestimmen. 512. Aus den Verkürzungsver- h<nissen die Axenprojektionen zu bestimmen. 513. Die Verkürzungs- kreise und das Verkürztingsdreieck. 514. Die Fußpunkte der Höhenlinien eines Spurendreiecks bilden ein Verkürzungsdreieck. 515. Aus den Ver- hältniszahlen die Axenprojektionen zu bestimmen. 516. Formeln und Tabelle über Verhältniszahlen, Verkürznngsverhältnisse und Axenwinkel. 517. Die isometrische, 518. die trimetrische, 519. die dimetrische Pro- jektion. 520. Lösung der Grundaufgaben der darstellenden Geometrie in axonometrischer Darstellung. Schnitt von. Ebene und Gerade. 521. Zwei zu einander senkrechte Gerade in einer Koordinatenebene. 522. Der Ab- stand zweier Punkte. 523. Der Abstand eines Punktes von einer Ebene. 524. Der Winkel zweier Geraden. 525. Der Winkel zweier Ebenen.
IL Die schiefe Projektion 444
526. Begriff und Namen. Der Würfel mit den Kreisen der Quadrate. Das Grabkreuz. 527. Vorteile und Nachteile. 528. Anwendung auf das Zeichnen der Krystalle. 529. Der 8 Flächner, der 48 Flächner. 530. Der Satz von Pohlke: Jedes ebene Axenkreuz ist die Parallelprojektion eines rechtwinklig-gleichschenkligen Axenkreuzes. 531. Die schiefe Projektion legt eine Koordinatenebene und eine Koordinatenaxe zu Grunde. Dar- stellung von Punkt, Gerade und Ebene. Der Abstandskreis. 532. Der Abstand zweier Punkte. 538. Der Abstand eines Punktes von einer Ebene. 534. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden. 535. Übungsaufgaben.
IX. Abschnitt.
Perspektive und Belief^erspektive.
L Die Centralprojektion oder die Perspektive im engeren
Sinne 452
536. Spur nnd Fluchtpunkt einer Geraden , Spur und Fluchtlinie einer Ebene. Schnitt zweier Ebenen. 537. Augenpunkt, Distanzpunkte n. s. w. 538. Perspektive einer doppelten Pfeilerreihe in gerader Ansicht. 539. Die Schatten einer Geraden und eines Punktes auf eine Ebene. 540. Schatten in der Pfeilerreihe bei Parallelbeleuchtung. 541. Perspektive einer hori- zontalen schiefen Linie. Teilungepunkt 542. Die reducirten Punkte. 543. Perspektive in schräger Ansicht von einem Obelisken mit seinem Schatten. 544. Verfahren von Stevin, Ubaldi, Dürer. 545. Perspektive in schräger Ansicht von einem Hause mit seinem Schatten. 546. Lösung der Grundanfgaben in perspektiver Darstellung. Darstellung der Ge* raden, des Punktes, der Ebene. 547. Schnitt von Ebenen und Geraden. 548. Die vier Hauptebenen. 549. Auf der Perspektive einer Geraden Strecken von gegebener wahrer Länge abzutragen. 550. Durch einen Punkt zu einer Geraden oder Ebene eine Parallele zu legen. 551. Durch einen Punkt zu einer Ebene eine senkrechte Gerade, oder umgekehrt, zu legen. 552. Den Winkel von Geraden imd Ebenen zu bestimmen. 553. Übungsau^aben.
n. Die Perspektive Kollineation zweier räumlichen
Systeme oder die Beliefperspektive 468
554. Die Unbestimmtheit der Reliefperspektive wird beseitigt, indem man einer Geraden eine Gerade entsprechen läßt. Bildebene, Flucht-
XX Inhalteverzeichnis.
ebene. 565. Relief bild von Gerade, Punkt, Ebene. Fluchtpunkt, Flucht- linie. Verschwindungsebene. 556. Augenpunkt, Distanz, Tiefe. Senk- rechte Projektion des Reliefs auf die Bildfläche. Reliefbild des Grund- risses und seine Projektion auf die Grundebene. 557. Die Reliefperspektive eines Pfeilers. 558. Bestimmung der Beziehung zweier perspektiv-koUinearen räumlichen Systeme durch a) Mittelpunkt und Ebene der EoUineation und ein Paar entsprechender Punkte , b) zwei Perspektive Vierecke (Satz).
559. Charakteristik der Kollineation. Affinität, Ähnlichkeit, Kongruenz.
560. Die Reliefperspektive gestattet auch der Bildhauerei die Darstellung beliebig entfernter Gegenstände. 561. Wiederherstellung (Restitution) des Gegenstandes auf unendlich viele Arten. Der wiederhergestellte und der wirkliche Gegenstand sind unter einander perspektiv-kollinear. 562. un- willkürlich tritt in der Vorstellung des Beschauers zwischen beiden Gegen- ständen die Affinität ein. 563. Mangel des Reliefs in Beziehung auf die Beleuchtung. Verbessern durch Abweichung von der Regel bei runden Gegenständen.
Grundbegriffe. Begriff nnd Wesen der darstellenden Geometrie.
1. Begriff. Die darstellende Geometrie ist die Wissenschaft ^ welche lehrt, Baumgebilde abzubilden und Aufgaben über dieselben auf Grund- läge der Abbildung vermittelst Zeichnung m lösen.
Sie lehrt im besonderen:
1) die Baumgebilde; welche im allgemeinen drei Ausdehnungen besitzen, durch Darstellungen von nur zwei Ausdehnungen, die also in einer ebenen oder krummen Fläche liegen, oder auch durch solche von ebenfalls drei Ausdehnungen abzubilden, imd zwar derart, daß die Abbildung, abgesehen von der Farbe, einen ähnlichen Eindruck, wie der Gegenstand selbst, hervorzubringen vermag. Abbildungs- weisen, welche die letztere Bücksicht bei Seite lassen, wurden bis- her in der darstellenden Geometrie nicht benutzt.
2) Sodann lehrt unsere Wissenschaft, auf Grundlage der Ab- bildung, und zwar derjenigen in einer Ebene, vermittelst weiterer Zeichnung, der sogenannten Konstruktion, Aufgaben in Bezug auf die Maumgebilde zu lösen; und
3) entwickelt sie die zu diesen beiden Zwecken notigen Lehrsätze.
2. Die in dem ersten Gebiete bezeichnete Aufgabe, insofern sie auf die Erzielung eines möglichst übereinstimmenden Eindrucks ge- richtet ist, wurde durch die Künste der Malerei und der Bildhauerei gestellt; und die Wissenschaft lieferte die Verfahrungsweisen, einer- seits Bilder, welche durch Form und durch. Licht- und Schatten- gebung möglichst täuschen, und andererseits Beliefdarstellungen anzufertigen. Die Teile der darstellenden Geometrie, welche diese Aufgaben lösen, heißen bezw. die Perspektive im engeren Sinne, oder die Gentralprojektion, welche das betrachtende Auge in end- lichem Abstände voraussetzt, die Beleuchtungslehre und die Belief- perspektive. '
Während auf diesem ersten Gebiete unserer Wissenschaft die Darstellung mehr einen Selbstzweck besitzt, dient sie in dem zweiten nur als Hilfsmittel zur Auflösung von Aufgaben über Baumgebilde.
Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. . 1
2 2. Grundbegriffe.
Hierzu ist vor Allem notwendig, daß, nachdem das Abbildungs- gesetz angenommen wurde, nicht nur durch den Gegenstand die Abbildung, sondern auch umgekehrt durch die Abbildung der Ge- genstand eindeutig bestimmt sei; und da eine einzige Abbildung meist nur die erstere Anforderung erfüllt, so wird die letztere um- gekehrte gewohnlich durch Vereinigung zweier Abbildungen auf verschiedenen oder auf derselben Bildfläche erfüllt, wobei man diese stets eben wählt. lA^^ni es dabei auf einen hohen Grad der Über- ^einstimmung nicht ankommt, wird hier gewöhnlich zur Erreichung größerer Einfachheit diQ parallele, insbesondere die senkrechte Pro- jektion angewendet. Die Benutzung von Projektionen ist aber not- wendig, weil im Gegensatze zur ebenen Geometrie, welche ihre Auf- gaben unmittelbar durch Zeichnung in der Ebene des Gebildes löst, eine unmittelbare Lösung von Aufgaben über allgemeine Raum- gebilde kaum durchführbar ist. So lehrt zwar die Stereometrie, daß der Mittelpunkt einer durch vier gegebene Punkte gehenden Kugel der gemeinschaftliche Punkt der sechs Ebenen ist, deren jede eine der sechs Strecken zwischen zweien jener Punkte senkrecht halbirt; diese Strecken und Ebenen aber durch körperliche Hilfsmittel, etwa gespannte Fäden und Glastafeln, wirklich zu legen und so die Auf- gabe thatsächlich zu lösen, ist schon wegen der Umständlichkeit durchaus unzweckmäßig. Die darstellende Geometrie lehrt nun, die gegebenen Punkte in einer Ebene abzubilden und auf Grundlage dieser Abbildung die Aufgabe durch Zeichnung iu derselben Ebene zu lösen. Solche Aufgaben wurden zuerst in der Baukunst gestellt, indem in der Zeichnung die Zerlegung des Bauwerkes in einzelne Baustücke angegeben und die Stücke nach dem aus der Zeichnung entnommenen Maßen derart hergestellt werden mußten, daß sie, zusammengefügt, das beabsichtigte Bauwerk bildeten.
Nachdem sich an solchen praktischen Aufgaben viele Auflösuiigs- verfahren herausgebildet hatten, entwickelte sich aus diesen die Wissenschaft der darstellenden Geometrie, welche die rein geome- trischen Gebilde in ihr Bereich zog; und gegenwärtig entnimmt diese Wissenschaft ihre Aufgaben aus dem ganzen Gebiete der Geometrie der geraden und krummen Linien und Flächen, so daß ihr Umfang nur durch unser Wissen und durch die auf dieses Stu- dium verwendbare Zeit beschränkt wird, wobei die Anwendbarkeit in Wissenschaft, Kunst und Technik die Auswahl bedingt.
Zur Lösung der Aufgaben der beiden bezeichneten Gebiete der darstellenden Geometrie sind Lehrsätze erforderlich, die, wenn unsere Wissenschaft befriedigend und recht fruchtbringend wirken soll, nicht aus anderen Teilen der Mathematik, z. B. aus der analytischen
2—3. Begriff nnd Wesen der darstellenden Geometrie. 3
Geometrie, entliehen, sondern selbständig entwickelt werden müssen, und zwar — entsprechend der Eigentümlichkeit unseres Wissens- zweiges — vorwiegend auf geometrischem Wege.
Besonders enge verwandt und deswegen in hohem Grade nutz- bringend zeigt sich dabei die projektive oder neuere Geotnetrie, oder die Geometrie der Lage, weil sie auf derselben Grundanschauung, wie die darstellende Geometrie, nämlich auf der des Projicirens be- ruht, und die sogen« projektiven Eigenschaften der Baumgebilde entwickelt, d. h. diejenigen, welche sich durch das Projiciren nicht ändern. Bei diesem innigen Zusammenhange der darstellenden mit der theoretischen Geometrie unterscheidet sie sich doch von ihr da- durch, daß sie vorwiegend eine Kette von Aufgaben und deren Auf- lösungen,* diese dagegen eine solche von Lehrsätzen bildet. Jene beweisenden Entwickelungen bezeichnen nun das driMe Geinet der darstellenden Geometrie; alle drei Gebiete sind aber stets mit ein- ander verwoben.
Li dem vorliegenden Buche sollen von der Perspektive im engeren Sinne, sowie von der Reliefperspektive nur die Grundzüge gegeben, die Beleuchtungslehre dagegen in ilirem wesentlichen Um- fange durchgeführt werden.
3, Das Projektionsverfahren, Zur Erreichung der Zwecke der darstellenden Geometrie muß, wie schon bemerkt, j^dem Punkte des Gegenstandes ein Punkt seiner Abbildung als entsprechend zugeordnet werden. Das Verfahren, nach welchem dies geschieht, das soge- nannte Darstellungs- oder Projektionsverfahren, wird vollständig oder teilweise durch die Anforderung bestimmt, daß ein Punkt und sein Bild sich für das Auge oder scheinbar decken sollen. Sie be- steht, wenn eine ebene Abbildung verlangt wird, darin, daß man von einem Punkte, der die Stelle des Auges angibt, einen geraden Seh- strahl durch jeden Punkt des Raumgebildes legt, dessen Schnitt- punkt mit jener Ebene, der Bildfläche, bestimmt und ihn als Ab- bildung jenes Punktes des Raumgebildes bezeichnet. Statt abbilden gebraucht man auch das Wort ^,projiciren*'. Man nennt dann die Stelle des Auges ^ProjektionsmiUelpunkt^ oder ,yPrqjektionscentrum'\ die Sehstrahlen ^yprojicirende Strahlen oder Geraden'^, auch „Pro- jektionsstrcMen^^ die Büdfläche ^^Projektionseben^^ oder „Tafd^', und die Abbildung „Projdction^* oder „Riß'',
Läßt man den Projektionsmittelpunkt ins Unendliche gehen, so werden die projicirenden Strahlen unter einander parallel und man erhält die Parallelprojektion im Gegensatze zur Central- Projektion oder der Perspektive im engeren Sinne. Werden außer- dem die projicii'enden Strahlen senkrecht zur Projektionsebene ge-
4 3. GmndbegriiFe.
stellt, 80 erhält man die senkrechte oder orthogonale Projektion im Gegensatz zur schiefen.
Ebenso ist die Abbildung auf einer krummen Fläche eindeutig bestimmt, wenn man von dieser Fläche nur ein Stück benutzt, welches von jedem der Sehstrahlen nur in einem Punkte getroffen wird. Soll dagegen die Abbildung eines Raumgebildes nicht auf einer Fläche liegen, sondern selbst räumlich sein, so genügt zu ihrer Be- stimmung nicht die Anforderung des scheinbaren Deckens; es wird vielmehr die, wie sich später zeigen wird, genügende Bedingung hinzugefügt, daß die Abbildung einer Geraden wieder eine Qerade sein soll, und man erhält hierdurch die Belicfperspektive.
L Abschnitt. Geschichte der darstellenden Geometrie.
I. Altertum und Mittelalter.
4, Über die Darstellungs^eise der Alten gibt uns der römische Baumeister Vitruv (zur Zeit Christi) in seinem Werke über die Bau- kunst (2. Kap.; 1. Buch) Nachricht, iudem er sagt, daß zu Ent- würfen (species dispositionis , idiai) die Ichfiographie (der Grundriß; txvog, die Fußtapfe; yga^peLv, einritzen, schreiben), die Orthographie (der Aufriß; cQ^og^ aufrecht) und die Scenographie (die Perspektive Abbildung; ^xi^vi^^ das Zelt, die Bühne) angewendet werden. Die Ichnographie gebe die Abbildung auf dem Boden, die Orthographie das aufgerichtete Bild der Außenfläche (frontis), die Scenographie die ümrißzeichnung der Fronte und der zurückweichenden Seiten. Über die Auslegung des Wortes „Scenographie" als Perspektive werden wir nachher noch sprechen; die Anwendung des Grund- und Aufrißverfahrens in der Baukunst wird aber hier als etwas längst bekanntes hingestellt. Und in Wahrheit ist* die Kunst, reiche und verwickelte Gebäude, wie die Tempel der Alten, aus behauenen Steinen herzustellen, ohne jenes Verfahren ganz undenkbar. Diese Kunst erregte bei dem Bau des Tempels zu Jerusalem^ den Salomo (1000 v. Chr.) durch die Tyrier ausführen ließ, die Verwunderung der wenig kunstgeübten Juden, indem davon im 1. Buch der Könige, Kap. 6, V. 7, gesagt ist: „Und da das Haus gesetzt ward, waren die Steine zuvor ganz zugerichtet, daß man keinen Hammer, noch Beil, noch irgend ein Eisenzeug im Bauen horete.''
„Den baulichen Anlagen der Ägypter lagen Zeichnungen und Risse zu Grunde, mit Angaben der Maße nach ganzen Zahlen und Brüchen, von welchen sich mehrere au.f Papyros gemalte. Pläne bis auf unsere Tage erhalten haben."*) Von Interesse sind die Aufrisse von Kapitalen, welche bei der Expedition nach Agyptefi unter Bona- parte in den Steinbrüchen Gebet Äbou-Fedah gefunden wurden und
*) Brugsch ,,über die Weisheit der alten Ägypter" (Deutsche Revue, 7. Jahrg., Jan. 1882, S. 67).
6 I, 4— 6. Geschichte der darsiellendea Geometrie.
in der description d'Egypte, B. 4, Bl. 62 abgebildet und von Jomard (B. 2, Kap. 16) beschrieben sind. Sie finden sich auf einer zuge- richteten Wand rot (vermutlich mit Rötel) mit Lineal und Zirkel, und in sicheren Linien aus freier Hand über einem quadratischen Liniennetze aufgezeichnet Eine der Zeichnungen stellt in halber Größe den Aufriß der Kapitale des Tempels zu DendSra dar, welcher von Ele«patra (66 — 30 v, Chr.) erbaut wurde, und zeigt den Isis- kopf der Vorderfläche in der Ansicht von vorn und die der Seiten- flächen im Profil. Eine solche Zeichnung dürfte von den jetzigen Baumeistern kaum anders ausgeführt werden. Wir werden erst später auf die weitere Entwickelung des Grund- und Au&ißver- fahrens zurückkommen.
5. Die Ferspektive andererseits ^ng aus dem Bedürfhisse der Malerei hervor. Die ägyptischen Wandskulpturen verraten noch keine Perspektiven Kenntnisse, indem auch der menschliche Körper ohne Verkürzung der Gliedmaßen, das Gesicht im Profil, aber dennoch das Auge von vom, die Füße im Profil, die Hand mit allen sicht- bar gemachten fünf Fingern dargestellt ist. Bemerkenswert ist die Darstellung eines von Bäumen umstandenen Teiches, welche in einem Grabe von Abd el Qurna in Theben von Lepsius gefunden (er bereiste Ägypten 1842 — 1846) und in seinen Denkmälern aus Ägypten und Äthiopien (1849—1850), Bd. 5 (neue Dynastie), Bl,40, abgebildet wurde. Sie zeigt den Teich quadratisch, also im Grund- riß, die Bäume im Aufriß, alle gleichsam nach außen umgeflegt, die in den Ecken in, die verlängei*te Diagonale, die wasserschöpfenden Männer im Aufriß. — Etwas weiter fortgeschritten ist die Relief' Skulptur der Perser, bei der man die menschlichen Figuren auch von vorn, ihre Füße aber dennoch im Profil dargestellt findet.
6. Über die Leistungen der Griechen und Eömer auf dem Ge- biete der Perspektive geben uns Aufschluß die ümrißbilder auf er- haltenen Vasen, die aufgedeckten Wandmalereien in Pompeji, Herkulanum und einige in Rom, sowie Nachrichten der alten Schrift- steller. Wir finden in den Abbildungen die menschliche Figur in den verschiedensten Stellungen mit den mannigfaltigsten Ver- kürzungen richtig dargestellt Die eigentliche Probe ihrer Leistung in der Perspektive müssen wir aber darin erkennen, ob sie das Ge- setz des Fluchtpunktes, nach welchem die Abbildungen paralleler Linien nach einem und demselben Punkte, ihrem Fluchtpunkte, laufen, und das Gesetz der Verjüngung, nach welchem die Abbil- dungen gleicher Strecken einer Geraden gegen den Fluchtpimkt hin abnehmen, gekannt haben. Die meisten der erwähnten Bilder, ins- besondere die Pompejanischen Wandmalereien geben benachbarte
I, 6. Alteitam und Mittelaltet*. 7
parallele Linien parallel^ aber verschiedene Gruppen derselben nach verschiedenen Riebtungen gekehrt; so daß ein Horizont zu erkennen ist, oberhalb dessen die sich entfernenden horizontalen geraden Linien fallen^ während diejenigen unter demselben steigen. Kreise sind oft durch schöne Ellipsen abgebildet, und eine Verjüngung ist zu erkennen, aber alles nur so weit richtig, wfe es durch Natur- beobachtung unmittelbar erkannt wird. In der Streitfrage, ob die Alten das Gesetz des Fluchtpunktes bewußt gekannt haben, wird wegen der angeführten Thatsachen dies von vielen geleugnet. An- deres zeigen uns aber die Wandmaiereien in Born, die in einem Privathause zwischen dem Esquilin und Viminal zur Zeit des An- toninus Pius (138 — 161 n. Chr.) gemalt, im Jahre 1777 aufgedeckt und von Buti herausgegeben wurden mit der Bemerkung, daß er die wirklichen Verhältnisse gewahrt habe. Einige dieser Wand- malereien stehen etwa auf derselben Stufe, wie die pompejanischeu, andere dagegen, wie das Blatt VII und noch einige mit derselben Dekoration versehene, auf einer viel höheren. Diese zeigen eine ausgedehnte Architektur, in deren weitaus größtem Teile die zu- rückweichenden Linien nach ein und demselben Fluchtpunkte, dem 8. g. Augenpunkte, gezogen sind, während derartige Linien des Bodens oder ihm benachbarte nach einem etwas höheren Augenpunkte laufen. Es sind dies Abweichungen von der Einheit des Augenpunktes, wie sie sich heute noch die Maler erlauben, um die Architektur mehr offen zu legen. Die Verkürzungen der Täfelungen fand ich beim Nach- konstruiren fast ganz richtig. Diese Beobachtungen werden durch ein Wandgemälde in dem Hause der Livia auf dem Palatin be- stätigt, das Herr Architekt Thiersch (jetzt Professor) im Jahre 1877 mit der Absicht, die Kenntnisse der Alten in der Perspektive zu prüfen, genau aufgenommen hat, welche Aufnahme mir gefalligst zur Verfügung gestellt wurde.
Man sieht hieraus, daß es Meister bei den Alten gab, welche das Gesetz des Fluchtpunktes bestimmt und das Gesetz der Ver- jüngung in seiner ungeföhren Wirkung kannten, daß dagegen die Handwerker wenig von diesen Gesetzen wul^ten.
Auch in der Farben- oder Luflperspektive leisteten die Alten schon Bedeutendes, wie die 1847 entdeckten und 1848—1850 aus- gegrabenen Wandmalereien in einem Hause des alten esquilinischen Hügels zu Rom zeigen, welche von Herrn Karl Wörtnann (München 1876) veröffentlicht wurden. Dieselben stellen die Odysseeland- schaften dar, unter denen sich besonders das erste, ein Unterwelt- bild mit zunehmender Helligkeit des Himmels gegen den Horizont^ mit wirkungsvoller Licht- und Schatten Verteilung (besonders bei dem
S L 6 — 7. Geschichte der darstellenden Geometrie.
Felsenthore des Eingangs), und Qberhaapt durch eine großartige landschafdiche Stimmung auszeichnet
7. Von Schriflstellen werden zwei aus Vitruvs Baukunst 1- Buch, 2. Kap. und 7. B^ Vorwort) angeführt, worin er über die Abbildungen Ton Bauwerken und über Scenerien des Theaters spricht; in der ersten sagt er: ,,die Ansicht (scaenographia) ist die Umriß- leichnung der Fronte und der zurückweichenden Seiten, derart, daß alle Linien einem Mittelpunkte (Zirkelstriche, circini centrum) ent- spredien^; die zweite lautet: „So hat zuerst Agatharchus zu Athen, als Äschylus*) das Trauerspiel zur Aufführung brachte, die Schau- bühne hergestellt und über dieselbe Notizen hinterlassen. Hierdurch Teranlaßt^ schrieben Demokrit und Anaxagoras über denselben Ge- genstand, wie man nämlich in Beziehung auf den Blick der Augen vaciem oculorum) und die Ausbreitung der Strahlen, nachdem der Mittelpunkt an einem gewissen Orte angenommen ist (certo loco centro constituto\ den Linien in natürlicher Weise entsprechen (respondere) müsse: damit die bestimmten Bilder über einen unbestimmten Ge- genstand durch Bühnengemalde den Schein von Gebäuden her- stellten, imd damit das, was auf aufrechten und ebenen Flachen ab- gebildet ist> teils zurückweichend, teils herTorspringend erscheine." In der ersten Stelle kann ich unter circini centrum nur den Augen- punkt und in der »weiten unter centrum, in seiner Verbindung mit acies oculorum, nur den Ort der Augen verstehen, so daß diese Schriftstellen besUUigt^n, was die römischen Wandmalereien schon für sich beweisen, dalA nämlich die Alten das Gesetz des Flucht- punktes kannten. l>ufllr aber, dulA den angewandten Verjüngungen eine Konstruktion Jtu (Jnuulo gelogen hiitte, haben wir keine An- zeichen; im Gegenioil woimI lUe nicht volle Genauigkeit nur auf eine gute' Beobachtung hin.
S, nie Ofiiik l'^klith und tue llvlitHiora gehen von der Ansicht riatons aus, nuoh Ooi* nuui «lio tJogenstUmle vermittel>t Sehstrahlen, welche vom Auge lUiMgohon und gogtMi den Gegenstand gerichtet sind, sehe, und PUitii htüU.i »iol» \\\i\m auf dius Unichten und Sehen der Augen im Hunklon. Jouo llllcber Imudeln von dem direkten Sehen, der Spiegt^huig und dor Liohtluvohung» und sprechen in ersterer Beziehung von dor mbolnbun^n UW\lW oder dem Sehwinkel, nicht aber von der AUbiMuu^ Mw^ lMMUvrKon«wert dageg^m ist die Ertiudung der aktriHftv^ylHsSihvh /S({/rA6.«« dmvh Hn^Mftxk (um 161 — 1-tJ V» Ohr» ihttlig^ MiUoUl dornolWn un^jicirie er die Himmelskugel Htm einem Polo doi Million m{ ihri» AnuaKwbene und
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I, 8—10. Die Perspektive von der Renaissance bis zum Beginn des 19. Jahrb. 9
konstruirte so da^ jetzt noch gebräuchliche Planisphärium, auf welchem die über dem Horizonte eines Ortes in einem gewissen Augenblicke stehenden Gestirne durch den aufgelegten Horizontkreis abgegrenzt werden. Diese Projektionsweise ist dadurch ausgezeichnet^ daß Kreise der Kugel wieder als Kreise abgebildet werden. Gewöhnlich wird die Erfindung der stereographischen Projektion dem Ptolemäus (um 140 n. Chr.) zugeschrieben; aber R. Wolf in seiner ^^Geschichte der Astronomie 1877" (S. 162) macht die obige Angabe wahrscheinlich.
9. Auf die klassische Zeit folgte auch fQr die Perspektive eine Öde, in welcher die hymntinische Manier mit schiefer Parallelpro- jektion angewandt wurde. Die Werke, die von Vitellio (ein Pole, etwa 1270), von Boger Bacon (1214—1294), von Ramus und Beußner (1572) über Perspektive herausgegeben wurden, sind der Optik Euklids nachgebildet.
Mit den Leistungen dieser Zeit stehen ungefähr auf gleicher Stufe diejenigen der chinesischen Malerei, welche menschliche Figuren mit Verkürzungen und in alleii Stellungen zeigen, die Gebäude und den Hausrat meist in schiefer Parallelprojektion und selten mit An- wendung eines Fluchtpunktes darstellen, die Landschaften mit einer Verengung und Verkleinerung nach dem Hintergrunde hin abbilden, ohne jedoch diese Verjüngung auch auf die menschlichen Figuren zu übertragen.
n. Die Perspektive von der Benaissance bis sum Beginn des
19. Jährhunderts.
10. In Europa fand die Erhebung über jene byzantinische Manier durch die Renaissance im 15. Jahrhundert statt, und damals wurde auch die Perspektive neu geschaffen, und zwar entstand sie zugleich in zwei Ländern, in den Niederlanden und Deutschland einerseits und in Italien andererseits. In den Niederlanden war es Jan van Eyck (etwa 1385—1440), der Vollender des großen, von seinem Bruder Hubert (etwa 1366 — 1426) begonnenen Genter Altar- bildes (worin ihm wesentlich die landschaftlichen Teile zuzuschreiben sind), welcher durch Ersetzen des bis dahin üblichen Goldgrundes durch einen landschaftlichen Hintergrund die Landschaftsmalerei einführte und den Anfang in der Perspektive machte. In der Luft- perspektive hat er schon Vorzügliches geleistet, den Himmel vom blassen Grau des Horizontes in das tiefe Blau der höheren Luft- schichten übergeführt-, in der Linienperspektive zeigt er die Kenntnis des Fluchtpunktes, der freilich nicht immer einheitlich gewahrt ist; eine mathematische Kenntnis der Perspektive besaß er nicht. — Seine Schüler und Nachfolger Hugo van der Goes, Regier van Brügge,
10 i, 10— U. Geschichte der darBtellenden Geometrie.
Ilans Memling u. a. lassen in ihren Bildern eine zjinehmende Ein- sicht in die Linienperspektiye erkennen^ wie z. B. das Bild „Die Verkündigung" vou Goes (gest. 1478) Einheit des Augenpunktes und des Distanzpunktes in der Bodentafelong zeigt.
Dasselbe gilt von den gleichzeitigen deutschen Malern: Martin Schön (gest. 1488), Hans Holbein d. Ä., Michael Wohlgemuth; bis dann bei Albrecht Dürer (1471 — 1528) die volle wissenschaftliche Erkenntnis «intrat. Er schrieb das erste selbständige deutsche Werk über Perspektive als einen Teil seiner „Underweysung der Messung mit Zirckol und richtscheyt, in Linien, Ebenen und gantzen Cor- poren u, s. w,, Nürnberg 1525 (2. Aufl. 1538)", worin er die ihm oigentümliche Konstruktion des Perspektiven Bildes als Schnitt der Sohstrahlenpyraraide mit der Bildfiäche vermittelst Grund- und Auf- risses angab, und auf diese Weise auch den vorher bestimmten Schatten in die Perspektive übertrug, worin er aber außerdem auch <ia8 Vorfahren des Augen- und Distanzpunktes benutzte. Als er bei seiner zweiten Heise nach Italien sich längere Zeit in Venedig auf- hielt uud dort gri>LWre Bilder malte, folgte er 1506 auf mehrere Tagi^ einer Einladung nach Bologna, wo er hochgefeiert wurde. Es sollte ihm hier die „Geheimperspektiv" gelehrt werden; von wem, ist unbekannt, vielleicht von Luca Pacioli, einem Schüler des Piero dal Bor)^^ welcher das Verfahren des Dist&nspunktes lehrte; und es ist möglich, daß Dürer, der die Perspektive damals schon be- herrschte« wie seine früheren Bilder zeigen, abkürzende Konstruk- tionen« gerade mittelst der Distanzpunkte« erfuhr. An Dürer schlössen »ich viele deutsche Sohriftsteller über Perspektive an, besonders wur\le sie in Nürnberg» der Vaterstadt Dürers, gepflegt
tl% In lioiirH leuchten in der ersten Hälfte des 15. Jahr- huihterf^i der Maler JViic^itrio ^^1401 — 1443"^ uud der Bildhauer Ghi- Mti yt»w8--l4%V>^ hervor» die mit dem Architekten Bnmdlescki vKUT l44^>^ und dem !«ldUauer l\>no:<i:o \^ro^iy—n6S} als die l^'^lnder der nuHlerwen Kunst angesehen wervlen. Alle gehorten tW rtvxrxnitiuisvhen Schule an» welche den Fortschritt durch das Studium der Natur und der Antike suchte» und auf deren Wege auch die !Vrs|H»ktiv\^ U^» die sie denn auch selbständig fand.
IW Verihcnst» in Italien die Pensj^ektive in feste Regeln ge- bracht «u haKnu x^irxl dem mathematisch g^'bildeten Baumeister f^i»'*«',\\'5{^'Ai «u^>schncU^u» Von ihm soll .V,vss*Kt>* die Liniesper- s|^titv» v\u\ IV^iatcUv^ da^A^'ü die Veriürtuncea erlernt haben. Jc\lcixtaIU aWr ist w^u Mass^iciv^ lu seinen B;lv:em d:e Perspdtive s;cnixich rt\*V:ivt% wetin auch nicht (llH^r^^» mit einer Eiaketi des Atfc^tuKmkUNs» aK^^x^einlel w\^^lcn» wie diet^ tue Slk^ erkennen
1, 11 — 12. Die Perspektive von der Renaissance bis zum Beginn des 19. Jabrh. 11
lassen, welche Lasinio nach seinen Fresken in der Kirche del Car- mine zu Florenz anfertigte.
BewonderungswQrdig in vielen Beziehungen, besonders auch in der Perspektive, sind die Thüren an dem Hauptportale des Baptiste- riums zu Florenz von Lorengo Ghiberti, deren Reliefskulpturen er in den Jahren 1424 — 1447 in Erzguß vollendete. Dieses Kunstwerk, das Michel Angelo für würdig erklärte, die Pforten des Paradieses zu bilden, erregt unser Erstaunen, wenn wir bedenken, daß zu jener Zeit, als die gewöhnliche Perspektive gerade im Entstehen 4)egriffen war, hier gleichzeitig ein hervorragendes Werk geschaffen wurde, das in taktvoller Weise ein gutes Teil der Regeln der Reliefper- spektive zur Anwendung brachte, die erst viel später ausgesprochen wurden. Es zeigt einen hohen Grad der Richtigkeit in der An- wendung des Fluchtpunktes und der Verkürzung; und die Abweichung von den geometrischen Regeln, indem den freistehenden menschlichen Figuren des Vordergrundes die volle Rundung, statt einer Abplattung gegeben ist, war dadurch geboten, daß solchen abgeplatteten Figuren auf keine Weise, weder durch natürliche, noch durch künstliche Be- leuchtung, scheinbar die Rundung erteilt werden kann, welche die ursprünglichen Körper zeigen, und welche selbst den vollkommen platten Figuren eines Gemäldes durch Farbengebung erteilt wird.
12« Das erste schriftstellerische Werk über Perspektive rührt von dem hochbegabten, vielseitigen Baumeister und Gelehrten Leo Battista Alherti (1404—1472) her. Es ist dies sein Buch „de pictura^', das vor 1446 geschrieben sein muß, da die Dedikation an Brunelleschi gerichtet ist, der in diesem Jahre starb. Im Druck kam das Buch lateinisch erst im Jahre 1511 in Nürnberg heraus, woher es kommen mag, daß Alberti gewöhnlich nicht unter den ersten Schriftstellern genannt wird. Von seinem Werke erschien eine italienische Übersetzung „Della pittura e della statua di Leon- battista Alberti, Milano 1804," welche dem Verfasser dieses Buches zur Benutzung verfügbar war. Alberti sagt darin, daß das Bild der Schnitt der Sehstrahlenpyramide sei, er gibt, als von sich er- funden, den Flor an, d. i. ein lockeres Netz von feinen Fäden, die durch stärkere in Quadrate abgeteilt sind; beim Durch visiren aus derselben Stelle sieht man jeden Punkt des Gegenstandes in einer bestimmten Masche, und kann ihn dann in ein gleiches Netz der Zeichenfläche übertragen. Sodann sagt Alberti über die Perspektive Konstruktion, daß ein Mittelpunkt (punto del centro, unser Haupt- oder Augenpunkt) in der Hohe der menschlichen Figur über der Grundlinie angenommen werde, wonach der eine Teil der Linien der quadratischen Täfelung des Bodens gezogen werde; er teilt in
12 1} 12. Geschichte der darstellenden Geometrie.
Bezug auf das Ziehen der mit der Grundlinie parallelen Querlinien mit, daß einige den ersten an der Grundlinie beginnenden Streifen willkürlich breit wählten, und jedem folgenden Streifen y, von der Breite des vorhergehenden gäben. Dieses Verfahren erklärt er mit Recht für falsch, und gibt dann sein Verfahren an, nach welchem auf der Mittellinie (centrica, Horizont) je nach dem gewählten Ab- stände des Beschauers von dem Bilde ein Gesichtspunkt (punto della veduta, soviel als Distanzpunkt) angenommen werde, von welchem aus Linien nach den Teflpunkten der Grundlinie gezogen, auf den anderen (nach dem Mittelpunkte) gezogenen Linien die Punkte für die Querlinien bestimmen. Diese Regeln, welche durch überein- stimmende Figuren erläutert werden, zeigen, daß Alberti den Distanz- punkt benutzte, um nach ihm die Diagonalen der gerade liegenden Quadrate zu ziehen. Einen Beweis für die Richtigkeit der Kon- struktion gibt er nicht, sagt vielmehr, daß diejenigen, welche nicht den Geist hätten, das Verfahren auf den ersten Blick zu verstehen, auch bei der groiken aufgewendeten Beredsamkeit es kaum je ver- stehen würden. Diese Äußerung können wir nur als ein Zeichen dafür ansehen, daß Alberti seine eigene Konstruktion nicht voll- kommen durchschaut hat Ihm aber ist die Erfindung des Ver- fahrens des Distanzpunktes zuzuerkennen, und nicht erst dem viel späteren Baldassere Perussi da Siena (1481 — 1536), wie es Ignaz Danti thut.
Von Einfluß auf die Entwiekelung und Verbreitung der Per- spektive war der Maler Piero iklla Frauct'sca dal San Sepolcro (geb. um 1415, lebte noch 1494) durch einen Traktat über Perspektive, den er in seinem Alter schrieb. Sodann der vielseitige Leoti4Mrdi da Vittci (1452 — 15U0. dessen Abhandlung über Perspektive in seinem trattato della pittura erwähnt wird, aber gegenwärtig nicht aufgefunden ist. Doch fuhrt er in der letzteren Schrift das Gesetz der Verjüngung gleicher aufrecht stehender Gegenstände an, auf welches er durch Beobachtung gekommen sei, daß sich nämlich die GrOlJen ihrer Abbildungen wie 1 : * ^ : ', • • • verhalten, wenn ihre Abstände vom Auge sich wie 1 : 2 : 3 . . . verhalten (^vorausgesetzt^ daß die Abstände auf derselben Geraden liegenX
Auf der Grundlage dieses Wissens erhoben sich nun die grol^n Meister liafa^L ^lichel'Afhjtlo, Titian, Panl Vtrone:>e u. a. Während aber die beiden ersten sich streng an die Kegeln der Perspektive halten, und in ihren Werken nur hie und da kleine Nachlässig- keiten erkennen lassen, erlauben sich die spateren be^leutende Ab- weichungen. So besitzt ^die Hochzeit lu Caua*' von Piud Veranese «1528 — 15>S> sieben Augenpunkte, die in lunf Horizonten liegen.
r, 12—13. Die PeTspektive von der Kenaissance bis zum Beginn des 19. Jahrh. 13
und gegenüber der Behauptung vieler gegenwärtigen Maler ^ daß eine solche Abweichung zur Erreichung der besten Wirkung oft notwendig sei, ist es wichtig^ anzuführen, daß Bossuet, Maler und Professor an der Akademie der schönen Künste in Brüssel in einem 1871 erschienenen Werke über Perspektive eine Darstellung der Architektur jenes Bildes mit einem einzigen Augenpunkte ent- worfen hat; welche im Wesentlichen dieselbe Verteilung der Massen aufweist.
13. Verfolgen wir nunmehr im einzelnen die Entwicklung der Perspektive als Wissenschaft.
Die älteste auf uns gekommene Schrift über Perspektive aus der Renaissance ist die schon angefahrte ,,de pictura'^ von Leon Battista AlbertL welche vor 1444 verfaßt war. In derselben erklärt er das Perspektive Bild für den Schnitt der Sehstrahlenpyramide mit der Bildfläche, gibt ein Instrument zu seiner Herstellung an, welches aus einem Böhmen mit einem quadratisch^ Net^ van Fäden und einem gleichen Liniennetze auf der Zeichenfläche besteht; und teilt das Verfahren des Distanzpunktes (punto della veduta) als von ihm erfunden mit; mittelst dessen er dann 'den quadratisch getäfelten Boden abbildet. Ausgebildet und vielfach angewendet wurde dies Verfahren durch den Mathematiker und Maler Biero della Francesca tms Borgo San Sepölcro, der in seinem Alter vor 1494 eine ausgedehnte Schrift mit vielen Figuren verfaßte ; die aber jetzt nicht aufgefunden ist. Durch diese Schrift und durch viele Schüler wirkte er mehr als Alberti auf die Ausbreitung und Ausbildung der Perspektive; so daß seiner als besonders verdienstvoll in dieser Beziehung öfter gedacht wird. Nach den Erläuterungen; welche Ignaz Danti zu Vignolas Perspektive schrieb; ist Pieros Verfahren das des Augen- und der beiden Distanzpunkte. Zugleich beschreibt Danti eine Konstruktion Pieros ; worin er die Perspektive eines in der Bodenfläche und schief gegen die Bildfläche liegenden Rechtecks durch seine Eckpunkte (mittelst einer nach dem Augen- und einer nach dem Distanzpunkt gezogenen Geraden) bestimmt; und dann als Probe anführt; daß sich die Bilder je zweier Gegenseiten in einem Punkte des Hori- zontes tre£fen müssen; welche Punkte dann zur Verzeichnung der oberen Fläche eines auf jenes Rechteck aufgesetzten Prismas be- nutzt werden. Es geht hieraus hervor, daß Piero auch die Flucht- punkte beliebiger horizontaler Linien kannte und verwertete. — Das erste gedruckte Werk über Perspektive ist das von Viator oder Belegrin ;,de artificiali perspectiva; Toul 1505," welches hauptsäch- lich aus Figurentafeln und weniger aus Schrift besteht und das Ver- fahren des Augen- und Distanzpunktes lehrt.
14 T, 13 — 14. Geschichte der darstellenden Geometrie.
Das nächste selbständige und weiterführende Werk ist das schon angeführte von Älbrecht Dürer ^^Underweysung der Messung mit Zirckel und richtscheyt, Nürnberg 1525", worin das Perspektive Bild als Schnitt der Sehstrahlenpyramide mit der Bild fläche vermittelst Grund- und Aufrisses konstruirt wird. Auf gleiche Weise überträgt Dürer den vorher in Grund- und Aufriß bestimmten Schatten. Außer- dem gibt er mehrere Instrumente zur Herstellung von Perspektiven an^ welche auf jenem bezeichneten Grundsatze beruhen^ nämlich eine Glastafd, auf welcher das Bild unter Benutzung eines Sehloches aufgezeichnet wird; sodann einen offenen Bahmen, durch welchen ein gespannter Faden hindurchgeht, der an der Stelle des Auges befestigt ist, an dem Umrisse des Gegenstandes hingeführt wird, und dessen Schnittpunkte mit der Rahmenfläche durch zwei quer über den Rahmen gespannte und mit Wachs zu befestigende Fäden bezeichnet und dann, nachdem der Rahmen mit dem Zeichenbrette geschlossen wurde, auf dieses übertragen werden; und endlich einen Rahmen mit einem quadratischen Netze von Fäden in der Weise von L. B. AlbertL — Endlich gibt Dürer noch ein Verfahren an, einen beliebigen Punkt der Bodenfläche abzubilden, indem er in dieser Fläche eine feste Hilfsgerade unter 45^ gegen die Bildfläche zieht, und deren Schnittpunkt mit einer durch den gegebenen Punkt parallel zur Grundlinie gezogenen Geraden benutzt.
14. Auf den bezeichneten beiden Verfahren, einerseits des Augen- und Distanzpunktes und andererseits des Tafeldurchschnittes, beruhen die durch eine längere folgende Zeit hindurch erscheinenden Werke, in welchen dann hauptsächlich Ausdehnung der Anwendung auf ge- neigte und horizontale, sowie auf krumme Bildflächen, das ist beson- ders auf Deckengemälde, und solche auf Theaterdekorationen gemacht wurden. In der Ausführung solcher künstlichen Deckengemälde gefiel sich die damalige Zeit und durch sie bewiesen die Maler ihre Kenntnis der Perspektive, während man gegenwärtig solche Kunst- stücke wegen ihrer ungünstigen Wirkung bei einem falschen Stand- punkte als weniger wertvoll betrachtet. Als hervorragende Ge- mälde auf horizontaler Decke wird eine von T. Laurati (1562), und als solche auf gewölbter werden die von L. Sabatini und 0. Mascherini angeführt.
Durch Schriften verbreiteten die Regeln von Piero desseA Z^itr genösse, der Baumeister und Maler Baldassare oder Beruzei von^ima und dessen Schüler Serlio, welcher die Theaterperspektive eingebend behandelte, in dessen Schrift aber viel Fehlerhaftes enthalten \ ist. Von deutschen Schriftstellern mögen angeführt sein Bodler (1531), Bivius (Nürnberg 1558), Lautensack (Frankfurt a. M. 1564), Jamn^
1, 14. Die Perspektive von der RenaiBsance bis sam Beginn des 19. Jahrb. 15
(Nürnberg 1568), Ijcncker (Nürnberg 1571), Haidm (Nürnberg 1590), P. Pfinzing aus Nürnberg (Augsburg 1606), Bruns (Leipzig 1615). Man sieht, wie eifrig die Perspektive in Nürnberg betrieben wurde. Der bedeutendste dieser Männer dürfte der Goldschmied Lencker sein, welcher Dürers Verfahr ungsweisen, besonders das bei diesem zuletzt angeführte, weiter ausgebildet und seinen Perspektiven Rahmen umgestaltet hat.
Unter den Italienern ist Daniel Barbaro zu nennen, welcher la pratica della perspettiva, Yenetia 1569, Teroffentlichte. Um Figuren der Bodenfläche in Perspektive zu setzen, überzieht er sie entweder mit einem quadratischen Netze, oder er schneidet ihre geraden Linien mit den zur Grundlinie der Bildfläche parallelen Seiten eines um sie gezeichneten Quadrates. In Bezug auf die Theaterperspektive gibt er ein sinnreiches und praktisches Verfahren an, welches ihm Pompeo Pedemonte, den er mit jenen Beiwortern schmückt, mitteilte. Um eine auf der Fläche des Vorhangs senkrechte Gerade abzubilden, spannt er (mit anderen Worten und kürzer ausgedrückt) eine Schnur von dem Punkte, in welchem jene Gerade die Fläche des Vorhangs trifft, nach der senkrechten Projektion des Auges auf die Ebene des Hintergrundes und stellt ein Licht an die Stelle des Auges; dann ist der Schatten der Schnur auf alle vorkommenden Bild- flächen, wie Hintergrund, Bodenfläche, Seitendekorationen, die ge- sachte Abbildung.
Von großer Verbreitung war das Werk des Baumeisters Vignola (1507—1573), welches zuerst 1583 erschien, und später von dem Mathematiker Danti herausgegeben wurde. Es ist: „Le due regole della prospettiva pratica di M. J. Baro^zi da Vignola. Coni com- mentarii del R. P. M. JEgnatio Danti, Roma 1644'^ Vignola benutzt Augen- und Distanzpunkt, fügt aber auch zwei weitere Distanzpunkte hinzu, welche in der Vertikalen des Augenpunktes liegen, und nach denen die Diagonalen der Seitenflächen eines gerade aufgestellten Würfels laufen. Von Belang sind die von Danti zugefügten ge- schichtlichen Bemerkungen, und seine Zusätze über Theaterperspek- tive, wobei er die dreiseitigen Kulissen des Baidassar Lanci (1569) anführt, die aus einem dreiseitigen Prisma bestanden, um eine lot- rechte Axe drehbar waren und dadurch dreierlei Dekorationen zeigen konnten. Auch die Zerrbilder werden von Danti behandelt.
Das erste französische Werk über Perspektive ist das von dem Maler J. Cousin „livre de la perspective, Paris 1560", worin das Verfahren des Augen- und Distanzpunktes angewendet wird. Er benutzt auch andere Fluchtpunkte horizontaler Linien (wie Piero) unter dem Namen AcddenUüpunkte,
16 I, 16. Gegchichte der darstellenden Geometrie.
15. Ein bedeutender Fortschritt wurde yon Guido übäldi ge- macht in seinem Werke ^^Perspectiva^ Pisauri 1600*'. Ubaldi (1545 — 1607) war ein herrorragender Mathematiker und betrachtet« die Perspektive aus einem umfassenderen Gesichtspunkte. Er ist der Erfinder des Fluchtpunktes im allgemeinen Sinne, den er punctum concursus nennt. Er findet den Fluchtpunkt paralleler Linien yon beliebiger Richtung als Schnittpunkt einer mit ihnen parallel durch das Auge gelegten Geraden, und sagt, daß sich die Perspektive jener Linien nicht ändert, wenn sich das Auge auf der letzteren Ge- raden verschiebt. Die Perspektive einer Geraden bestimmt er durch ihre Spur (Schnitt mit der Bildfläche) und ihren Fluchtpunkt. Die Perspektive a eines in der Bodenfläche liegenden Punktes a be- stimmt er auf 23 Arten. Dabei legt er die Bodenfläche mit der in ihr befindlichen Projektion P des Auges um die Grundlinie in die Bildfläche um. Hervorragend und neu sind folgende vier Verfahren : 1) Er zieht (nach jener Umlegung) durch a zwei beliebige Linien und zeichnet ihre Perspektive durch ihre Spuren und ihre Fluchtpunkte auf dem Horizonte, die er durch die Schnittpunkte ihrer Parallelen aus P mit der Grundlinie bestimmt. 2) Zieht man vom Schnittpunkte der Pa mit der Grundlinie zu dieser eine Senkrechte, so liegt hierauf a\
3) Trägt man auf der von P auf den Horizont geföUten Senkrechten PV^= der Höhe des Auges über dem Boden auf, so liegt a auf Fa.
4) Hat man die Abbildungen w', n' zweier Punkte w, n bestimmt, so erhält man a durch Beachtung, daß ma und m'a\ sowie na und n'a' sich auf der Grundlinie schneiden. Man sieht, daß 3) und 4) die Keime der Kenntnis der Kollineation in sich schließen. Sodann setzt übaldi Höhen und damit Körper in Perspektive, bildet Kreise und andere krumme Linien, die in beliebigen Ebenen liegen, ab, lehrt die Abbildung auf Cylinderflächen, bestimmt die Schatten für einen im Endlichen liegenden leuchtenden Punkt unmittelbar in der Perspektive, dabei den des Cylinders, des Kegels, der Kugel, die Schatten in einen hohlen Cylinder und in eine hohle Halbkugel. Sodann gibt er in seiner Behandlung der Theaterperspektive einen Anfang zu den Anschauungen der Relief Perspektive, indem er den Schnittpunkt der vom Auge auf die Ebene des Vorhangs geföllten Senkrechten mit der schwachansteigenden Bodenfläche der Bühne als den Zusammenlaufpunkt der Geraden bezeichnet, welche die zur Vorhangfläche senkrechten Geraden auf dem Boden und auf ge- wissen Kulissen abbilden. Das Verfahren stimmt im Ergebnisse mit dem von Barbaro überein.
In den mathematischen Werken von Simon Stevin^Leyden 1605
1608, welche von Snellius aus dem Holländischen ins Lateinische über-
I, 15 — 16. Die Perspektive von der fienaisBance bis zum Beginn des 19. Jahrb. 17
setzt wurden (1608), ist der 1. Band der Scenographie oder Per- spektive gewidmet. Stevin legt den Grund zur Entwickelung der Koüineation, indem er den Satz (mit anderen Worten) aufstellt: Legt man durch das Auge V und durch einen beliebigen Punkt a je eine zur Bildfläche parallele Ebene und dreht jede der drei Ebenen um ihre Schnittlinie mit der Bodenfläche, so daß sie stets parallel bleiben und endlich in die Bodenfläche fallen, so bleibt die Per- spektive a von a stets dieselbe. Sind P und o^, bezw. die Hori- zontalprojektionen von V und a, so erhält man a' nach dem Um- legen, indem man Pap mit der Grundlinie schneidet, hier eine Senkrechte zu letzterer zieht, welche dann die Va in a triSt, wie schon Ubaldi angab. Stevin untersucht den Fall, in dem die Per- spektive eines Kreises wieder ein Kreis ist, und lost in vielen Fällen, wenn auch nicht im allgemeinen, die Aufgabe, zwei beliebige Vier- ecke in Perspektive Lage zu bringen.
Es mögen noch genannt sein SirigatH (Yenetia 1596), Friisen (Leyden 1604), de Caus (London 1612), Marolois (1614), Accolti (Florensa 1625).
16. Beges Leben in der Entwickelung der Perspektive trat in der Mitte des 17. Jahrhunderts in Frankreich ein, an welchem der berühmte Mathematiker Desargues den lebhaftesten Anteil nahm, freilich dabei auch einen heftigen persönlichen Streit dadurch ent- zündete, daß er alles Verdienst ftlr sich allein in Anspruch nahm. Desargues (1593 — 1662) schrieb eine kurze Abhandlung „Methode universelle de m^ttre en perspective les objets etc., Paris 1636", welche verloren ist, wovon aber Bosse, in seiner Schrift „Mani^re universelle de Mr. Desargues, pour pratiquer la perspective etc., Paris 1648" den Lihalt in einem Anhange angibt, während das Werk selbst die weitere Ausführung enthält. Bosse (1611—1678), Kupferstecher und Professor der Perspektive an der Schule der schonen Künste in Paris und später auch kurze Zeit hindurch an der Akademie der Künste in Brüssel, war der Schüler und eifrige Verbreiter und Verteidiger von Desargues' Lehre. Diese legt die Anschauung der Koordinaten zu Grunde und benutzt als Koordinaten- axen die in der Bildfläche liegende Grund- und Höhenlinie, und eine auf beiden senkrechte Gerade. Auf diesen drei Linien wer- den bezw. der Breiten-, Hohen- und Tiefentnaßstab (Schelle fuyante) aufgetragen, letzterer in der Perspektive auf einer nach dem Augen- punkte gerichteten Geraden mittelst des Distanzpunktes, oder, wenn dieser außerhalb des Bildes liegt, mittelst der, wie man heute sagen würde, reducirten Distanz. Da Desargues dieses Verfahren als das allgemeinste und beste anpries, wurde er angegrifl^en, worauf er in
Wiener, Lelirbncfa der darstellenden Geometrie. 2
18 I, 16. Geschichte der darstellenden Geometrie.
heftiger Weise antwortete und demjenigen 100 Pistolen anbot, welcher ihm einen Fehler nachweisen, und ein andermal demjenigen 1000 Frank, welcher ein vorzüglicheres Verfahren angeben könne. In der Ge- schichte siegten seine Gegner, und auch damals insofern, als sie er- reichten, daß Bosse bei seinem unterrichte in Paris und später in Brüssel, wo er sich nach einigen Jahren neue Gegner zugezogen hatte, auf das Lehren von Desargues' Verfahren verzichten sollte, worauf er aber jedesmal lieber sein Amt niederlegte. — So sehr Desargues auch stets den Wert der Anwendung der Wissenschaft als den größeren hervorhob, und neben der Perspektive auch in der Lehre vom Steinschnitt umgestaltend wirkte, so siegten doch auf beiden Gebieten seine Gedanken nicht, die sich zwar durch die All- gemeinheit der Auffassung auszeichnen, sich aber bei der Ausführung als unbequem erweisen. Seine Verdienste liegen auf dem Gebiete der reinen Wissenschaft, wo er unter Verwertung der fruchtbaren Anschauung der Perspektive, namentlich durch Übertragung von Eigenschaften des Kreises auf die Kegelschnitte, einer der Begrün- der der projektiven Geometrie geworden ist.
Desargues brachte den Gedanken der Koordinaten neu in die Perspektive hinein; der Gedanke der verschiedenen Maßstabe war durch das alte Verfahren der Bodentäfelung so vorbereitet, daß er gleich- zeitig mit Desargues auch noch von anderen, so von dem Ingenieur Alleaume gefaßt wurde, der sich im Jahre 1628 ein Werk privile- giren ließ, das den Titel führte „introduction ä la perspective en- semble, Tusage du compas optique et perspective^von welchem aber nur sechs Blatter gedruckt wurden. Nach dem Tode des Verfassers und des Druckers ging das Material in die Hände des Mathematikers Migon über, der, wie er sagt, mehrere wertvolle Zusätze zufügte,- und ein neues Buch unter dem Titel herausgab „La perspective speculative et pratique. De Tinvention du feu sieur Alleaume, in- genieur du roi, mise au jour par £. Mi^on, prof. es-math^matiques, Paris 1643.« Der erste Teil, welcher den Abdruck jener sechs Blätter enthält, behandelt die Perspektiven Maßstäbe, ungefähr wie bei Desargues; der zweite Teil mit einer neuen Vorrede, in der ein ganz Neue» versprochen wird, und in welchem ganz' andere An- schauungen, wie die der Maßstäbe herrschen, muß wohl fiir den angekündigten Zusatz von Migon angesehen werden. Der Verfasser schlägt die Horizontalebene um die Horizontlinie in die Bildfläche nieder, zieht aus dem niedergeschlagenen Auge H einen Kreis den er einteüt, und überträgt durch Strahlen aus H diese Winkelteilunfr auf die Horizontlinie, ausgehend vom Augenpunkte. Eine horizontale Linie, deren Fluchtpunkt z. B. bei 40« liegt, bildet dann mit der Büd
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T, 16 — 17. Die Perspektive von der Renaissance bis zum Begina des 19. Jahrb. 19
ääche einen Winkel von 90^ — 40® = 50®. Zugleich bestimmt er den Zusammenlaufpunkt der Sehnen, welche gleiche Strecken auf jener Geraden und auf der Grundlinie abschneiden, welchen Punkt man jetzt den Teilungspunkt nennt. Er liegt auf der anderen Seite des Augenpunktes bei y^ • 50® = 25®. Diese Erfindungen der Winkd- teilung des Horizontes und besonders des Teäu/ngspufüctes sind also Migon zu yerdanken und die darauf gegründeten Verfahren haben den Vorzug vor dem Eoordinatenverfahren, daß sie den Grundriß entbehrlich machen und die Perspektive aus den wahren Maßen herzusteUen gestatten. — Als dritter nahm noch der Mathematiker Vatdeeard die erste Erfindung des Perspektiven Maßstabes für sich in Anspruch in seinem Werke „Abregt ou racourcy de la per- spective par rimitation, Paris 1643^', worin er angibt, daß er schon im Jahre 1631 jenen Maßstab bekannt gegeben habe, und worin er sich über die Anmaßung Desargues' ereifert. Vaulezard gab übrigens auch die Auflösung der umgekehrten Aufgabe, aus der Perspektive die Stelle des Auges zu bestimmen, sowie der Aufgabe, Bilder für eine geänderte Augenstelluug umzuändern.
Einen nicht unbedeutenden Fortschritt machte BaUaa in seinen „Abreviations des plus difficiles Operations de perspective pratique, 1644", worin er den Flucht- und Teilungspunkt einer horizontalen Geraden nicht durch die Winkelteilung des Horizontes^ sondern durch Parallelstrahlen aus dem niedergeschlagenen Auge bestimmt. Außerdem ersetzt er die Distanz- und Teilungspunkte durch be- liebige Punkte gewisser Kreise (des Distansh und Teäungskreises), Die Erregung durch Desargues wirkte noch lange nach. So ver- öffentlichen CuräbeUe eine sehr feindselige Schrift gegen denselben „Examen des oeuvres de Sr. Desargues, Paris 1644'^, und ebenso zeigte sich Huret in seiner „optique de portraiture et peinture, Paris 167t)'' als heftiger Widersacher. Niceron schrieb einen „thauma- turgus opticus, Paris 1646'', welcher nach seinem Tode französich als „perspective curieuse, 1652" erschien; hierin wird Desargues an- erkannt. Wesentlich Neues enthalten diese Werke nicht.
17. In Deutschland veröffentlichte Andreas Albert „Zwei Bücher, das erste von der ohne und durch die Arithmetica gefundenen Per- spektive, das andere von dem dazu gehörigen Schatten, Nürnberg 1671." Der Verfasser gibt verschiedene Tabellen für die Perspek- tiven Breiten und Höhen von Punkten der Bodenfläche, und als neu ein sinnreiches Verfahren zur Konstruktion einer solchen Höhe ohne Überschreitung des Bildrahmens.
Bedeutende Fortschritte wurden zunächst gemacht durch die Verallgemeinerung der Verfahren durch Gravesand in Holland und
20 I» 17—18. Geschichte der darBtellenden Geometrie.
durch Taylor in England. Gravesand (1688—1742, Professor der Mathematik in Leyden) verfaßte 1707 im Alter von 19 Jahren eine Perspektive, die er 1711 als Versuch einer Perspektive im £[aag veröffentlichte, und welche Johann Bemouilli mit Becht als ausge- zeichnet durch ihre sinnreichen und einfachen Verfahren bezeichnet. Die Abbildung einer Figur der Horizontalebene, die er in die Bild- fläche umlegt, betrachtet er, um mit unseren Worten zu reden, als KoUineation, und benutzt nicht nur den Horizont, sondern auch die zweite Gegenaxe. Höhen trägt er in mannigfacher Weise auf. So- dann bestimmt er aber in sinnreicher Weise den Perspektiven 27m- riß eines Cylinders, eines KegdSj einer Kugel, und von dem letzteren, einer Ellipse, ermittelt er die Axen, er sucht mit Hilfe der Rech- nung den Umriß eines Ringes, Femer konstruirt er die Perspektive von beliebigen Geraden durch Spur und Fluchtpunkt, ebenso von Körpern mit geneigten Seitenflächen, er behaodelt den Fall, in dem die Distanz- punkte sehr entfernt sind, bestimmt die Perspektiven auf geneigten Bildflächen und die Schatten unter Benutzung des Fluchtpunktes der Lichtstrahlen.
Brook Taylor (1685 — 1731), nach welchem der bekannte Satz der Analysis benannt ist, veröffentlichte eine linear perspective, London 1715, wovon eine zweite Auflage, new principles of linear perspective, 1719, eine Bearbeitung von Hamilton, 1738, unter Zu- fügung einer Luftperspektive, eine von Kirby, London 1768, und zwei Übersetzungen ins Französische, eine von Jacquier, Rom 1755, und eine von Murdoch, Amsterdam 1759, erschienen. Er stellte eine Gerade und eine Ebene durch ihren Schnitt (mit der Bildfläche) und ihren Verschrnndungs/pninkt bezw. ihre Verschwindungslinie dar, bildete die Figuren irgend einer Ebene in der Weise, wie die der Bodenfiäche vermittelst Verschwindungs- und Teilungspunkt ab (ohne letzteren zu benennen); er suchte den Verschwindungspunkt einer auf einer gegebenen Ebene senkrechten Geraden, und bildete dadurch einen Würfel in allgemeiner Lage ab.
Zwei Werke, in denen die Ergebnisse sowohl durch Rechnung, als durch Konstruktion gewonnen wurden, sind der traite d'optique et de perspective par Lacaille, Paris 1750, und die perspectivae et projectionum theoria generalis analytica von Kästner, Leipzig 1752.
18, Ein hervorragendes Werk rührt von dem Mathematiker und Physiker J. H, Lambert her, der 1728 in Mühlhausen im Elsaß geboren wurde und, nachdem er 20 Jahre hindurch Mitglied der Akademie der Wisseuschaften in Berlin gewesen war, im Jahre 1777 daselbst starb. Mit seinem grundlegenden Werke über Photo- metrie werden wir uns später eingehend beschäftigen; hier haben
I, 18. Die Perspektive von der Renaissance bis zum Beginn des 19. Jahrh. 21
wir zu betrachten seine „freye Perspektive, oder Anweisuilg jeden perspektivischen Aufriß von freyen Stücken und ohne Grundriß zu verfertigen, Zürich 1759*' (2. Aufl. 1774), von der auch eine fran- zösische Übersetzung erschien. Lambert hat, wie in dem Titel angedeutet ist, die Absicht, es möglich zu machen, den Gegen- stand unmittelbar aus seinen bekannten Längen- und Winkelmaßen perspektiv zu zeichnen, nicht viel weniger leicht, als es sonst im Grund- und Aufriß geschieht. Er gibt hierzu die einfachsten Eon- struktionsregeln unter Anwendung der Benennung „Teilungspunkt^, und fügt Perspektive Maßstabe zu, deren einer, abweichend von dem von Desargnes und von anderen angegebenen Proportionsmaßstabe, die reciproken Werte von Abständen abzugreifen, deren anderer noch mit dem Cosinus der Neigungswinkel zu multipliciren gestattet Lambert erweitert bedeutend die von Taylor gegebenen Darstellungen, indem auch er eine Ebene durch ihre aufstoßende oder Enotenlinie (Spur) und ihre Grenzlinie (Fluchtlinie) abbildet^ Ebenen und Geraden unter beliebigen Winkeln gegen einander legt, er untersucht, wie mir scheint zuerst, die Veränderungen, welche in der Vorstellung des abgebildeten Gegenstandes durch die Veränderung der Stellung des Auges vor dem Bilde stattfinden, er bestimmt die schiefe Parallel- projektion eines Würfels nach dem Verfahren der Perspektive unter Annahme von unendlich kleinen Maßen des Würfels, er löst die umgekehrte Aufgabe, aus der Perspektive die Stellung des Auges und die Maße des dargestellten Körpers zu bestimmen, in syste- matischer Weise unter Annahme der verschiedenartigen Voraus- setzungen, er bestimmt Spiegelbilder, Schatten, Refiexwirkungen durch ebene und krumme Flächen, Theaterperspektive, und löst eine große Anzahl geometrischer Aufgaben vermittelst der Anschauungen der projektiven Geometrie.
Eine ähnliche Sichtung wie Lambert, wenn auch nicht in so allgemeiner und umfassender Weise, verfolgte. Zanotti (1709—1782), Professor der Astronomie in Bologna, in seinem Werke über Per- spektive von 1766, nach deren lateinischem Texte eine italienische Übersetzung erschien „trattato teoretico-pratico di prospettiva, Mi- lano 1825.^' Schon vorher schrieb er „de perspectiva in theorema unum redacta'^ in den Eommentarien der Akademie in Bologna. Er bildete Gerade aus ihren Neigungen und Längen mittelst der Acci- dental- und anderer Punkte ab, die wir Flucht- und Teilungspunkte nennen; er löst eine Reihe von umgekehrten Aufgaben und behandelt ausführlich die Theaterperspektive.
22 \ 19. Geschichte der darstellenden Geometrie.
m. Ansbüdimg des Grond- und AufirifiiverfUirezis und SntBtehnne der daiBteüenden (ieometrie in Frankreiah.
19. So war in der Mitte des 18. Jahrhunderts das Ver£ahren der Abbildiing raumlieher Gebilde, auch in dem allgemeinen Falle der PerspektiTe, auf einen hohen Grad der Yollkommenheit gebracht, also der erste Teil der Aufgabe der darstellenden Geometrie im Wesentlichen gelost. Auch im zweiten Teile, in der Losung Yon Aufgaben über Ranmgebilde durch Konstruktion in der Ebene, war SU jener Zeit schon Vieles geschehen Es wurden Durchschnitte Ton Flächen, Bestimmungen wahrer Gestalten, Umlegungen und Ab- wicklungen ausgeffthrt, aber meist nur gelegentlich der Arbeiten auf anderen Gebieten, so einerseits, wie wir sahen, auf dem Crebiete der Perspektive, und andererseits, und zwar Torwiegend, auf dem Gebiete der Baukunst
Hier benutzte man bei senkrechter Projektion den Grundriß, den Aufiiß und das Profil oder den vertikalen Durchschnitt, und ver- wendete die meiste Kunst auf die oft verwickelten Aufgaben des Stein- schnittes bei Gewölben und Treppen, worin im Mittelalter und zur Zeit der Renaissance mehr als gegenwärtig geleistet wurde. Aber nicht nur in der Ausübung der Bauhütten und Werkstätten befand sich diese Kunst; sie wurde auch schriftstellerisch bearbeitet und verbreitet, und zwar zuerst von Philibcrt de VOrme^ Almosenier Heinrich H. von Frankreich in seinem Werke „traite de Farchi- tecture, 1576.^ Sodann hat JoHSse über den Steinschnitt in seinen ,ySecrets de Farchitecture, 1642^* geschrieben, Derand in seinem Werke ,4^^^^^^^^^^ ^^^ voütes ou Fart des traits, et coupes des voütes, 1643 (3. Ausg. 1755)^. In diesem ist der Steinschnitt un- gefähr ebenso wie in den neuen Werken graphisch behandelt; es sind nämlich in einfachster Weise durch Grund- und Aufrisse, Schnitte, Umlegungen und Abwicklungen die Schablonen der ab- wickelbaren Flächen der Steine konstruirt Die geometrischen Ver- fahrungsweisen sind aber nur durch Angaben der zu ziehenden Linien bestimmt Im Vorworte ist gesagt, daß die Begründung weggelassen wäre, weil sie filr denjenigen, welcher Geometrie ver- stände, überflüssig und ermüdend, und für denjenigen, der sie niclit verstände, zu ausgedehnt werden und das Verständnis doch nicht herbeifuhren würde. Es scheint, daß das Verständnis der Kon- struktionen nur durch mündliche Unterweisung bei Anlaß der prak- tischen Aufgaben überliefert wurde.
Damals kam es freilich auch vor, daß Entdecker neuer Metho- den die Richtigkeit derselben in ihren Schriften durch Anbietung
I, 19—20. Ausbildung des Grund- und Aufrißverfahrens etc. 23
großer Wetten erhärteten, die durch die Ausführung des Baues ent- schieden werden sollten; und andererseits, daß windschiefe Flächen als abwickelbare behandelt wurden.
Solche Mißgriffe kann man aber nicht, wie es schon von Nach- folgern Monges geschehen ist, als bezeichnend für jene Zeit an- führen, in der sie vielmehr gegen die Leistungen in den angeführten Werken und in der ausführenden Baukunst verschwinden. Beson- ders hervorragend in theoretischer Hinsicht, wenn auch weniger zweckmäßig für die Anwendung, ist eine schon erwähnte Leistung von Desargues, worin derselbe ein allgemeines Verfahren zur Be- stimmung der wahren Gestalt der Flächen der Gewolbsteine angab, das Bosse in dem Werke veröffentlichte: „la pratique du trait ä preuves, de Mr. Desargues, Lyonnois, pour la coupe des Pierres en l'Architecture, par A. Bosse, Paris 1543". Das Verfahren beruht auf einer allgemeinen Veränderung der Projektionsebene, und ist von Bosse ebenso weitschweifig, wie schwer verständlich, mitgeteilt. Desargues wurde von Praktikern, die ihn vielleicht gar nicht ver- standen, augefeindet und sein Verfahren zurückgewiesen. Aber auch jetzt wird dies Verfahren der Veränderung der Projektionsebenen nur in den einfachen Fällen angewendet, nicht aber in dem allge- meinen, wie es Desargues gethan hatte, so sinnreich es auch ist, weil andere Verfahren einfacher sind. Der Traite de la coupe des pierres par de la Rtie (1728) enthält größtenteils sehr genaue Zeichnungen, von denen viele bei Anlegung der Zeichnungsvorlagen für die polytechnische Schule in Paris (gegründet 1794) benutzt wurden.
20. Das größte Verdienst vor Monge erwarb sich um die Her- anbildung der darstellenden Geometrie Fregier (1682—1773, franzö- sischer Offizier und Ingenieur) durch sein Werk „la theorie et la pratique de la coupe des pierres et des bois, ou traite de stereo- tomie, Strasbourg 1738 & 39; nouvelle (2.) edition, Paris, t. L 1754, t. IL 1768, t III. 1769)". Frezier trennt dabei die Theorie von der Praxis, was, wie er sagt, noch Niemand gethan hatte, und widmet der ersteren den ganzen ersten Band, indem er stets seinen Er- örterungen die Beweise zufügt. Was die Darstellung (description) anbelangt, so bedient er sich der Parallel-, und zwar hauptsächlich der senkrechten Projektion, die man sich durch herabfallende Tropfen Tinte veranschaulichen soll (S. 242). Die Projektionsebene (plan de description) wird aus technischen Gründen gewöhnlich horizontal oder vertikal gestellt; und er unterscheidet den Grundriß (plan, ichnographie, projection horizontale) und den Aufriß (Orthographie, welche sich in ^levation, profil und coupe trennt). Er behandelt
24 h 20. Geschichte der darstellenden Geometrie.
die ebenen krummen Linien, die krummen Flächen, die er, wie es dem Steinschnitt angemessen ist^ durch Bewegung einer ersseugenden Linie entstehen läßt; insbesondere den Cylinder, den Kegel, die Kugel, das Sphäroid (und andere Umdrehungsäächen zweiter Ord- nung), das dreiaxige EUipsoid, verschiedene Ring- und Schrauben- flächen und tvindschiefe (gauches) Flächen. Von letzteren unter- scheidet er vier Arten (Bd. 2, S. 8 ff.): 1) solche, die durch gleichförmige Bewegung (parallel zu einer Ebene) einer gerad- linigen Erzeagenden auf zwei Geraden, die nicht in einer Ebene liegen, entstehen, welche er planolime nennt, und die jetzt hyper- bolische Paraboloide heißen. Er sagt, daß es ihm Freude gemacht habe, zu entdecken, daß die diagonalen Ebenen des gleichseitigen windschiefen Vierecks diese Fläche in verschiedenen und entgegen- gesetzt gekehrten Parabeln schneiden, und fiLhrt den Beweis dafür. 2) Solche, die durch Bewegung einer Geraden auf einer Geraden und einer Kurve (mixtilime) oder 3) auf zwei Kurven hin {dolioUme) entstehen, wobei die vollständige Bestimmung der Bewegung erst durch die Bedingungen des Steinschnitts gegeben wird; 4) durch Bewegung einer veränderlichen krummen Linie auf zwei festen krummen Linien hin (sphericolime), welche Flächen man gegen- wärtig gar nicht mehr windschief nennt.
Frezier konstruirt die Durchdringung der Körper, indem er diese durch parallele Ebenen schneidet, wo dann die Schnittpunkte der zwei in derselben Ebene liegenden Schnittlinien Punkte der ge- suchten Schnittkurve sind (S. 280). Vorteilhaftere Lagen der Hilfs- ebenen, wie durch die Spitzen zweier Kegel, entgehen ihm dabei öfter. Er untersucht dann besonders die Schnittkurven von Cylin- dern, Kegeln, Kugeln und EUipsoiden (also die Raurokurven vierter Ordnung) und unterscheidet sie nach ihren Symmetrieebenen und nach der Gestalt der durch sie gehenden Cylinder als Cykloimber (hohlgebogener Kreis), ElUpsimber, EUipsoidimber, zusammengesetzte EUipsimber, Paraboloidimber, Hyperboloidimber. — Sodann behandelt Frözier in der epipedrographie die Abwicklung (d^veloppement) von Polyedern und krummen Flächen, z. B. des schiefen Kreiskegels mit- telst Ersetzen durch eine ihm eingeschriebene Pyramide, und zuletzt in der goniographie die Bestimmung der Winkel von Flächen und lost dabei auch einige Aufgaben in Bezug auf das Dreikant. Hieran reihen sich dann die geometrisch so mannigfaltigen Aufgaben des Steinschnittes an. Man sieht, wie weit schon Frezier aus der Kunst des Steinschnittes eine geometrische Theorie der Darstellung ent- wickelt, wie er die Flächen durch Bewegung einer Erzeugenden, wenn auch nicht immer ganz scharf, bestimmt^ und das allgemeine
I, 20 — 22. Ausbildung des Grund- und Aufrißverfahrens etc. 25
Verfahren zur Eonstraktion ihrer Schnitte^ zur Abwickelung der abwickelbaren Flächen und zur Bestimmung der Flächenwinkel angibt.
21. Auch die Kunst der Topographie entwickelte sich im vorigen Jahrhundert.*) Zuerst (1738) wendete Ph. Buctche die Niveaukurven zur Bezeichnung des Ufers zu den verschiedenen Epocihen der Ebbe und Flut an, und Dtuiarla benutzte (1771) dieselben zur Bezeichnung der Zonen, welche bei verschieden ausgedehnten Überschwemmungen vom Wasser bedeckt sein würden. Zu derselben Zeit wurden von den Genieoffizieren schon die Tiefen- (oder Hohen)zahlen (Koten) zur Angabe der Tiefen einzelner Punkte unter einem höheren Hon* zonte angewendet, und an der Kriegsschule in Mezieres wurden die Horizontalen und die Linien des größten Falles zur Bezeichnung der Lage der geneigten Ebenen und zur Lösung von Aufgaben über Defilements benutzt, bei denen es sich um die geringsten Kosten für Ab- und Auftrag bei Anlage von geschützten Festungswerken handelte.
Um sogleich diesen Gegenstand zu Ende zu führen, sei erwähnt, daß in diesem Jahrhundert Noizet die Geometrie der Jcotirten Pro- jektiotien in umfassender Weise ausbildete, daß Leroy m seiner später anzuführenden geometrie descriptive (1842) der methpde des plans cotes einen Abschnitt widmet, ebenso de la Goumerie in seiner geom. descr. (1860), indem er der Theorie noch Anwendungen auf topographische Gebilde und auf Schuttenkonstruktionen zufügte. — Ein ausführliches Werk über diesen Gegenstand lieferte v. PescKka^ Professor an der technischen Hochschule in Brunn, „Kotirte Ebenen und deren Anwendung, Brunn 1877^', worin das Gebiet der dar- stellenden Geometrie in dieser Darstellungsweise durchschritten und viele Anwendungen auf Dachflächen, Schattenkonstruktionen und topographische Flächen gemacht werden.
22. So weit nun auch die Kunst der Darstellung sowohl durch Perspektive als durch senkrechte Projektion ausgebildet und so viel- fach diese Darstellung zur Lösung von geometrisch-technischen und von rein geometrischen Aufgaben benutzt worden war, so blieb es doch einem Geiste von der geometrischen Kraft Monges vorbehalten, die darstellende Geometrie (geometrie descriptive) als gesonderten Wissenszweig zu schaffen. Er führte die Schnittlinie der Horizontal- und Yertikalebene, als feste Grundlinie oder Projektionsaxe, die er ligne de terre nannte, und welche bisher nur in der Perspektive,
*) Siehe De la Goumerie, discoura sor Tari du tndt et la gäom^trie de- scriptive. Parifi 1866. S. 22.
26 .1} 82. Oeschichte der darstellenden Geometrie.
woher er den Namen entnahm, nicht aber bei dem Grund- und Auf- rißverfahren angewendet worden war, auch hier ein, legte um sie die eine Projektionsebene in die andere um, und erreichte dadurch viele Vorteile, insbesondere den, Ebenen durch ihre Spuren dar- stellen und auf sie in einfachster Weise Senkrechte fallen zu können. Sodann sammelte er die bekannten konstruktiven Lösungen von Auf- gaben über Baumgebilde, fügte eine Menge sinnreicher und ein- facher neuer hinzu und ordnete sie zu einem wissenschaftlichen Ge- bäude zusammen.
Gaspard Monge*) ist am 10. Mai 1746 in Beaume geboren, besuchte die militärische Genieschule zu M^zieres, wo er seines niederen Standes wegen nur in die sogenannte Gypsklasse eintreten konnte, wurde aber, nachdem er sich durch seine wissenschaftlichen Arbeiten, insbesondere durch eine einfache, geometrische Losung einer Aufgabe aus dem Festungswesen bemerklich gemacht hatte, in seinem 19. Jahre an dieser Anstalt Repetitor, dann 1768 Pro- fessor der Mathematik und im Jahre 1771 auch der Physik. Während er Lehrer in M^zieres war, entwickelte er seine darstellende Geometrie und unterrichtete sie daselbst. Da aber die verschiedenen Militär- schulen in Frankreich in gegenseitiger Eifersucht ihre Vorteile vor einander verbargen, so war es Monge verboten, irgend etwas von seinen neuen Methoden außerhalb der Anstalt mitzuteilen. 1780 wurde Monge auf Grund seiner analytischen Untersuchungen über krumme Flächen zum Mitgliede der Akademie und zum Lehrer der Hydraulik im Louvre in Paris ernannt, was ihn wechselnd halb- jährig von Mezieres entfernte, 1783 wurde er Examinator der Marine- zöglinge und siedelte ganz nach Paris über. Der Revolution wandte er sich begeistert zu, in Erinnerung an den geistigen Druck und an die Hemmung durch bevorrechtete Stände, welche er in M^ziferes empfunden hatte. Er wurde 1792 Marineminister, legte nach einigen Monaten dieses Amt nieder und übernahm 1793 mit Eifer die Leitung der Geschütz- und Pulverfabriken.
Im Jahre 1794 wurde die Normalschule gegründet, bestand aber nur durch die vier ersten Monate des Jahres 1795; an ihr durfte endlich Monge seine neue Wissenschaft öffentlich vortragen. Es erschienen seine Le^ons de geometrie descriptivef donnees ä TEcole Normale, publiees d'abord en feuilles, d'apres les stenographes; Paris, an in (1795). Von ihm revidirt, wurden sie in dem Journal des
*) Ch. Dupin, essai bistorique snr les Services et les travaux scientifiqaet» de Gaspard Monge, Paris 1819. Fr. Aragos sämmtliche Werke. Deutsch von HankeL Leipzig 1854. 2. Bd. S. 347—484. (Biographie von Monge, gel. i. d. Ac. d. Wiss. i. Paris, 11. Mai 1846.)
1, 22—23. Ausbildung des Grund- und AufriOverfahrens etc. 27
ecoles normales (1795) abgedrackt Die folgende Auflage bildeten dieselben lefons^ pabliees en 1 vol. in-4*^, an VII (22. September 1798 bis dahin 1799). Ebenfalls im Jahre 1794 wurde die polytechnische Schule gegründet, aber sie trat erst 1795 nach dem Erlöschen der Normalschule ins Leben. An der Spitze der Gründer der polytech- nischen Schule steht Monge, nach dessen Plane, der demjenigen der Genieschule in Mezieres nachgebildet war, sie eingerichtet wurde; durch mehr als 20 Jahre widmete er ihr als Professor seine Lehr- kraft Monge nahm im Jahre 1798 an der Expedition nach Ägypten Teil^ wo er zum Präsidenten des dort gegründeten ägyptischen In- stitutes ernannt wurde. Nach der zweiten Restauration wurde er 1816 seiner Amter entsetzt und aus der Liste des Institutes ge- strichen. Diesen Schlägen erlag sein Geist, er wurde umdüstert und ganz teilnahmlos. Monge starb am 28. Juli 1818.
23. Monges Verdienste um die Geometrie sind bedeutende. Die hrummen Flächen teilte man entweder nach ihrem Grade oder in Fa- milien, hauptsächlich nach ihren Erzeugenden, ein. Monge stellte die allgemeinen Gleichungen der Flächen verschiedener Familien auf, in welchen unbestimmte Funktionen auftreten, und untersuchte ihre allgemeinen Eigenschaften. Es geschah dies in seinen feuilles d'analyse appliquee a la geometrie, an ÜI (1794 — 95). Außerdem betrachtete er die krummen Flächen als Einhüllende aller Lagen einer sich bewegenden, im allgemeinen veränderlichen Fläche, z. B. eine Umdrehungsfläche als Einhüllende von Gy lindem, von Kegeln oder von Kugeln, und benutzte diese Anschauung beim Umschreiben eines Kegels aus einem beliebigen Punkte an eine Fläche. Von Monge rührt der Begriff der KrümmungsUnien her, zuerst nieder- gelegt in einer Abhandlung über Ab- und Auftrag von Erdmassen (memoire sur la theorie des deblais et des remblais; mem. de TAcad. d. Sc. de Paris, 1781, S. 666). Er stellte die Gleichungen auf von den KrOmmungslinien des ElUpsoides und konstruirte sie danach. (Sur les lignes de courbure de la surface de Tellipsoide in dem Journal de Tecole polyt., IL Cah., an HI (1795) S. 145).
Endlich, wie schon erwähnt, schuf er das wissenschaftliche Ge- bäude der darstellenden Geometrie, In derselben stellt er den Punkt und die Linien durch zwei Projektionen, die Ebene, unter Fest- stellung einer Projektionsaxe, durch zwei Spuren, die krumme Fläche durch die Projektionen ihrer Erzeugenden und durch ihre Umrisse dar. Er lost dann die Aufgaben über Schnitt, Abstände und Winkel von Geraden und ]ßbenen, bezw. von Punkten, über berührende Ebenen an Cylinder, Kegel und Umdrehungsflächen, wenn der Be- rührungspunkt gegeben ist, er legt die Berührungsebene an eine
28 1« 23. Geiichichte der darstellendea Geometrie.
Kugel durch eine g^ebene Crerade, die gemeinschaftlichen Be- rührungsebenen an zwei oder drei Kugeln und gelangt hier zu dem ihm eigentumliehen Satze, daß die sechs Ahnlichkeitspunkte je zweier Ton drei in einer Ebene liegenden Kreise zu drei auf yier Geraden liegen. Dann lost er die Au%abe, an einen Cylinder oder Kegel eine Berührungsebene zu legen durch einen außeriialb gegebenen Punkt, an eine beliebige Umdrehungsflache durch eine außerhalb derselben g^ebene Gerade, und dies Termittelst des mit jener Fläche koaxialen einschaligen Hyperboloids, von dem die Gerade eine Er- zeugende ist, und mittelst der gemeinschaftlichen Tangente an die in derselben Ebene liegenden Meridianlinien beider Flachen« Dieses Ver&hren ist bei den Umdrehungsflachen, die nicht vom zweiten Grade sind, am einfachsten, und soll später bei einem Ringe an- gewendet werden.
Er geht dann zur Konstruktion der Schnittlinien krummer Flächen mit Ebenen und mit anderen krummen Flächen über, sowie zur Bestimmung von deren Tangenten und zur Abwicklung der einen Schnittfläche, wenn sie abwickelbar ist, insbesondere zum Schnitt des Cjlinders und Kegels mit der Ebene, zweier Kegel, mittelst Hilfsebenen, die durch die Spitzen beider gelegt werden, eines beliebigen Kegels mit einer konzentrischen Kugel und der dadurch auszuführenden Abwickelung des schiefen Kegels, welches Verfahren, verglichen mit dem von Frezier, weniger Punkte, aber mehr Umständlichkeit erfordert; er koustruirt den Schnitt zweier Umdrehungsflächen, deren Axen sich treffen, und gibt dabei die schone Auflosung mittelst der Hilfskugeln, deren Mittelpunkt jener Punkt des Zusammentreffens ist Er beschreibt dann eine Kugel um und in eine dreiseitige Pyramide, zeichnet eine solche Pyramide aus ihren sechs Kanten, oder aus der Grundfläche und den Winkeln der drei Seitenkanten mit der Grundfläche, oder den Winkeln der drei Seitenkanten mit einander, und gibt an, wie ein Land aus zweien in derselben Lothlinio Hegenden Stellungen eines Luftballons durch Winkelmessungen aufgenommen werden koune. Es wird dann der Begriff der Evolute von ebeuen Kurven und der Begriff der Fläche aller Evoluten einer Kurve doppelter Krümmung entwickelt, d. L einer abwickelbaren Fluche, deren Berührungsebenen die Nor- malebenen und deren Enieugonde die sogenannten iLrümmungsaxen der Kurve sind, sowie der IWgrift* der llaupikrümmungen und der Krümmungslinien der Fl&ehen,
Es folgen dann die Uruudli^^eu der Lehre der Schatten und der Perspektive, nach den nicht herausgegebenen Vorträgen von Monge, abgefaßt von seinem Schüler I^i^ssuh« Es wird die Eigen-
I, 23—24. AuBbildung des Grund- and AufriOverfahrenB etc. 29
schattengrenze von Polyedern and von krummen Flächen bestimmt^ letztere yermittelst der aus dem leuchtenden Punkte berührend ge- legten Eegel oder Cylinder (konstruirt durch Tangenten an die Schnittkurven mit Ebenen, welche durch den leuchtenden Punkt gehen; als Beispiel der Schatten einer Kugel auf einen Cylinder bei Parallelbeleuchtung), es wird das Wesen des Halbschattens er- läutert^ dessen Grenzen durch abwickelbare Flächen bestimmt wer- den^ welche zugleich die leuchtende wie die beleuchtete Fläche umhüUeU; und endlich wird der Einfluß der Luft und der benach- barten reflektirenden Körper auf die Farbentone besprochen. Brisson fiigt seine eigene bestimmtere Theorie über die Tonstärke hinzU; welche später noch erörtert werden soll. Es wird dann die Per- spektive eines Gegenstandes als Durchschnitt der Sehstrahlenpyra- mide mit der Bildfläche konstruirt und der Satz über den gemein- schaftlichen Punkt (Fluchtpunkt) der Perspektiven paralleler Ge- raden bewiesen.
24c. Neben Monge muß S. F. Lacroix (geb. 1765 zu Paris^ gesi 1843 daselbst) wegen einer fast gleichzeitig herausgegebenen Schrift über darstellende Geometrie genannt werden. Lacroix war von 1788 an einige Zeit Professor an der Artillerieschule in Besannen, 1795 Hilfsprofessor für darstellende Geometrie an der Normalschule, 1799 Professor an der polytechnischen Schule in Paris. Jene Schrift ist „complements des ^l^ments de g^ometrie'', mit dem besonderen Titel y^essais de g^om^trie sur les plans et les surfaces (Paris 1796; 7. edit. 1840)'' und stimmt im wesentlichen mit Monges g^ometrie descriptive überein. In der Vorrede sagt LacroiX; daß die Schrift keine Nachbildung von Monges Werke sei, daß es vielmehr Per- sonen gebe, welche bedeutend vor dieser Veröffentlichung Monges die Materialien seiner Arbeit gesehen, die zu ordnen er sich * ver- anlaßt gefunden habe, als er Hilfsprofessor für darstellende Geo- metrie an der Normalschule wurde. Später sagt Lacroix in einer Anmerkung, daß er die Losung der Aufgabe über den Durchschnitt zweier Umdrehungsflächen, deren Axen sich schneiden, mittelst Hilfs- kugeln, einem Schüler der Anstalt zu Mezi^res verdanke, also von der Schule, an welcher Monge lehrte. — Dupin erzählt in seinem oben angeführten Werke über Monge, daß dieser 1780 in Paris einigen strebsamen jungen Männern, darunter Lacroix, Vorlesungen über die Anwendung der Analysis auf die Geometrie gehalten und dabei bemerkt habe, daß er die Aufgaben auch mit Zirkel und liineal losen könne, daß ihm aber die Mitteilung des Geheimnisses verboten sei. Diese Andeutungen reizten Lacroix und genügten ihm, die wichtigsten räumlich-geometrischen Aufgaben durch die Methode
30 ^ 2^ — 2^* Geschichte der darBtellenden Geometrie.
der Projektion zu losen. — Olivier in seinem cours de g^ometrie descriptiTe (Paris 1843) erzählt in dem Vorworte, daß ein Genie- offizier die an der Schule in Mezieres gefertigten Zeichnungen nach Besan^on gebracht habe, daß diese zufallig den Schülern der dor- tigen Artillerieschule in die Hände gekommen seien, welche aber die Hieroglyphen nicht enträtseln konnten, daß dies aber Lacroix, ihrem Lehrer, dem sie dieselben brachten, gelungen sei, welcher darauf über den darin behandelten Gegenstand die angeführte Schrift ver- faßte. Dies stimmt ganz mit der Ähnlichkeit seiner und Monges Arbeit zusammen und zeigt einerseits die mathematische Geschick- lichkeit Lacroix', andererseits aber auch, wie sehr die darstellende Geometrie damals Yorbereitet war.
26. Hachette (geb. 1769 zu Mezieres, gest. 1834 zu Paris), Schüler Monges und Hilfsprofessor für darstellende Geometrie an der Normalschule (1795) und an der polytechnischen Schule (1795 — 97), von da an alleiniger Professor derselben bis 1816, gab 1822 seinen trait^ de g^ometrie descriptive mit den Anwendungen auf Schattenlehre, Perspektive und Steinschnitt heraus und erweiterte darin unsere Wissenschaft bedeutend. Er untersuchte die Flächen zweiter Ordnung, welche er in die fünf bekannten Arten teilte, be- handelte von denselben insbesondere die beiden windschiefen, unter- suchte*) die windschiefen Flächen im allgemeinen und die entlang einer Erzeugenden berührenden und die sich anschmiegenden ein- schaligen Hyperboloide, die sphärische Epicykloide, sowie die allge- meine Schraubenfläche, welche durch die Schraubenbewegung irgend einer Kurve entsteht, fand den Satz, daß alle ebenen Schnitte eines Paraboloids sich auf irgend eine Ebene durch Projicirende, die mit seiner Axe parallel sind, als ähnliche und ähnlich liegende Kegel- schnitte projiciren, und bestimmte die Krümmung der Schnittkurve zweier Flächen aus der Krümmung der letzteren.
Chr. Dupin hatte den Satz der konjugirten Tangenten einer Fläche aufgestellt, welcher für die Konstruktion der Eigenschatten- grenze eine große Bedeutung besitzt, indem der berührende Licht- strahl und die Tangente der Schattengrenze konjugirt sind. Hachette benutzte diesen Satz zur Bestimmung der Punkte einer konkav- konvexen Fläche, in welchen der Lichtstrahl mit der Tangente der Schattengrenze zusammenfällt, und deren Schlagschatten Spitzen der Schlagschattengrenze bilden.
Es schließt sich hier eine interessante Losung der Aufgabe
*) Siehe auch ChasHeB^ Bapport sur las progr^ de la gäom^trie en France, Paris 1870.
I, 25—26. Ausbildiing des Grund- und Aufirißverfahrens etc. 31
an, den Durchschnitt zweier (verlängerter) Umdrehun^sellipsoide zn finden, deren Axen sich nicht treffen, welche Chapuy*) lieferte und die später gebracht werden soll.
Von weiteren Werken sei erwähnt der Trait^ de g^metrie de- scriptive von Potier (Paris 1817), der von Vdllee (Paris 1819) und der von Lefebure de Faurcy (Paris 1832), deutsch von v. Bünau (Chemnitz 1845). Sodann sind hervorzuheben die durch Klarheit ausgezeich- neten Werke von C. F. A. Leroy (1780—1854), welcher 35 Jahre lang Professor der darst Geom. an der pol. Schule in Paris war. Er schrieb: Traite de g^ometrie descriptive, suivie de la methode des plans cot^s et de la theorie des engrenages cylindriques et coniques etc., Paris 1842 (8. ^dit 1867), und Traite de stereotomie etc., Paris 1844 (4. edit. 1865). Beide Werke sind von Eauffinann ins Deutsche übersetzt.
26. Th. Olivier (1793—1853) war Professor der darst. Geom. an der ecole centrale des arts et metiers und Repetent an der polyt. Schule in Paris. Er schrieb einen Cours de g^om^trie descriptive, in deren erstem Teile (Paris 1843, 2. ^dii 1852) er den Punkt, die Gerade und die Ebene behandelt und die Änderung der beiden Pro- jektionsebenen als das wichtigste Konstruktionsmittel an die Spitze stellt^ und worin er in Verbindung mit umlegbaren Projektionstafeln die Anwendung Verschiedenfarbiger Stäbchen zur Yersinnlichung von Geraden, ihrer Projektionen und der Projicirenden empfiehlt. Wäh- rend die Änderung der Projektionsebenen in einfachen Lagen und die umlegbaren Tafeln seit lange in Gebrauch sind und voraussicht- lich darin bleiben werden, so hat jene Änderung in verwickelten Fällen und die Anwendung der Stäbchen, beide als entbehrlich und umständlich, keine Annahme gefunden. Diese Vorschläge mögen ein Ausfluß der Umständlichkeit und Weitschweifigkeit Oliviers sein, welche oft in seinen Schriften ermüdend auftritt.
Im zweiten Teile seines Cours (1844) behandelt Olivier die krummen Linien und Flächen, besonders die vom zweiten Grade. Sodann schrieb er d^veloppements (1843), complements (1845), additions (1847) und applications (1847) de geom. descr.; letztere Anwen- dungen sind auf einzelne Aufgaben der Schattenlehre, der Perspek- tive, der Gnoiflonik und der Verzahnungen gerichtei
Er untersucht (compl.) die Krümmung von Linien, z. B. der ebenen und sphärischen Epicykloide, behandelt die Krümmung der Flächen, konstruirt die Wendepunkte der sogenannten Verwandelten, welche nämlich aus Kurven auf abwickelbaren Flächen durch deren
^ GorreBpondaDce aar T^ole polyt Paris, 2. Bd., 1809, S. 266.
3:2 1. S6— ^ Geschichte der darsteUendeo Geometrie.
Abwickelung entstehen, bestimmt die Tangenten in denjenigen Doppel- pmtten dtf Sehnittknire zweier Flächen, in welchen sich die letz- teren beführai. Ton Olirier rühren anch Terschiedene sinnreiche Fadmmodelle ron Begelflachen her, deren Form durch Verstellung d«- Leitlinien gundert werden kann.
tl. JT. de la Gornnterity geb. 1814, war Professor der darstellenden «j^ometrie an A&r polytechnischen Schule und am conservaioire des aits et meti«rs in Paris Ton 1849—1864, schrieb einen Traite de Trute geometrie descriptaTe, 3 parties, Paris 1860, 62, 64 und einen de pospectiTe lineaire, 1859.
De la Goum«ie hat in seine darstellende Geometrie die Schatten- lekre hereingeEogen, ohne jedoch auf die Linien gleicher Helligkeit «inro^b^i« deren phj^alische Grundlage er mit einem gewissen fischte« wie wir später sehen werden, als nicht genügend festgestellt crtdirl, {«i«- die kotirte Projektion und die topographischen Flächen, die axonometrische und die EaTalier-PerspektiTe, auch einzelne Teile der pjTVJektiTen Geometrie^ ohne ihr jedoch einen wesentlichen Ein- £:;iS auf die Enoirterungen zu gewihren. Das Torzngliche Werk enthalt Tiele B«t>nch«rungen der Wissenschaft, so in Bezug anf die Krimmung der Flachen, in Bezug auf die Krümmung der Schnitt- karre ein^r Fliehe mit einer berührenden Ebene im Berfihrungs- punkte« in Bejtug auf windschiefe Flachen« üue Striktionslinie, ihre sac^nannte Kanten und Kuspidalpimkte« femer in Bezug auf ab- wickelhaw F15«>hen, welche xim zwei Flachen oder Linien aweiter Oidnung bes^ehrieben sind« ^tum erstenmal tou OÜTier bdiandelt), in Be5Ug auf Schraubenä&chen« ihre Schanengrenzen und deren Taiigwtten u, &. w«; de la Gi>uraerie gibt hau£g geometrische Er- onerutu^en mit lVnutAxin55 des unendlich Klein^i« ^rebrancht aber auch nicht selten die Analy^s.
:?S* .4. J/iW»«Acv«w, stnt iSivi IVotVssor der dar&tel}€9idai Geo- metrie an der |H>lytRvhnisoheu Schule in l^ms, schrieb einoi Cours de geom. descr^ IVris ISSO, l>arin winl der sonst gewohnlich be- handelte Stoff als bekannt xorawsjjt^setÄt^ und es kann das Werk einex^its als eine l Wrsicht> aniletvrstnt^ als eine duit:h Anwoidung drr Kinematik eig>^4\tftu\hoh^ Uehandluu»; ur,d WeiterfvJirang dn- seiner Teile unserer \N >ssons\rhat\ bt^tt^oV.tei weiviea. Im «sten T^Ie werden die vers^huHloni>n l><i<^tonui^5j>ii>iv eisten der d-«ixdi ebene oder einfaehe knmune FUuhi>n bo^t^i^^^ton K:n>er in k^a^m ZOgen
riv-kÄi, riinaich die IWtuu«uu\|X dor S.>^an^?i. .^^e kc^tirte, be- rs aber die cettt«U^, d*iuw du^ K^x^ber- u?>ä axonometrische Pn:>ebi:c- Im zweiten IViU^ \xo^>l.>\^ a^^ xi^rNvV.i^i^Äcn Ste^Cen die
\ %l i d*V U^vwotvu^ dw iVwv^rcng« beliaadelt
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I, 28—29. Die neuere französüche Perspektive. 33
und angewendet auf die Untersuchung der Regelflächen^ insbesondere der Regelschraubenflächen und der Krümmung der Linien und Flächen. Der Begriff der Normalenflächen (normalies)y welche durch Bewegung der Normale einer Fläche entlang einer auf dieser Fläche liegenden Leitlinie entstehen^ werden in eigentümlicher Weise behandelt; von diesen Normalenflächen sind einige allgemeine Eigenschaften ent-^ wickelt und zur Untersuchung der Krümmung beliebiger Flächen benutzt. — Der zweite Teil des Werkes und seiner wenig aus- gebildeten Figuren tragen mehr das Grepräge einer theoretischen als einer darstellenden Geometrie, und es soll das Buch nur zum er- gänzenden Studium der letzteren Wissenschaft dienen.
IV. Die neuere französisohe Perspektive.
29. Die neuere französische Perspektive leistete sowohl in mathema- tischer wie in künstlerischer Beziehung Bedeutendes. In der ersteren Richtung liegt die Arbeit von Cousinery in seiner Geometrie per- spective, Paris 1828. Er legt die von Taylor eingeführte Dar- stellung der Geraden und der Ebene durch Spur und Fluchtpunkt, bezw. Fluchtlinie, welche er trace und limite nennt; zu Grunde, während er zur Darstellung des Punktes eine Hilfsgerade benutzt, führt den Distanzkreis als Umlegungskreis des Auges ein, und gibt die Losungen der Aufgaben über Durchschnitte, Senkrechte, Ab- stände und Winkel. Er stellt dann die Flächen zweiter Ordnung dar, und zwar die geradlinigen ebenfalls durch Spur, Fluchtlinie und eine Erzeugende, die nicht geradlinigen durch den Umriß und Mittel- punkt, und löst in einfacher Weise die Aufgaben über ihre Be- rührungsebenen, ihre Schnitte mit Ebenen und unter einander u. a. Auf Grund der Deutung, welche man ebenen Figuren als Bildern von räumlichen Gebilden geben kann, beweist er in einfacher Weise Sätze der ebenen Geometrie, wie z. B. iie Richtigkeit der einfachsten Auflösung der Apollonischen Aufgabe, welche den Kreis fordert, .der drei gegebene Kreise berührt, indem er diese drei Kreise (mit einem derselben als Fluchtlinie) als Abbildungen von parallelen Kegeln betrachtet; oder den Satz, daß jeder Punkt einer Geraden, welche mit zwei auf ihr festen Punkten bezw. auf zwei festen Ge- raden hingleitet, eine Ellipse beschreibt, indem er diese Figur als Perspektive eines Kreiskonoides ansieht. Endlich bringt er noch Anwendungen auf die Darstellungen von beliebigen Körpern (Würfel, Kugel, Umdrehungsfläche [Ring], Schraube) und die Bestimmung ihrer Schatten.
Die Perspektive in künstlerischer Beziehung wurde in Frank-
Wiener, Lehrbuch der darstellendou Geonietrio. 3
34 If 29—80. Geschichte der darsiellenden Geometrie.
reich besonders von den Professoren der Akademie der bildenden Künste in Paris gefördert Hier sei hervorgehoben Thtbatdt, Pro- fessor dieser Akademie und Maler, dessen Anwendung der Linear- perspektive auf die zeichnenden Künste nach seinem Tode von seinem Schüler £!hapuis 1827 herausgegeben und von Beindel Ina Deutsche übersetzt wurde. Der geometrische Charakter tritt gegen den künstlerischen zurück; aber dennoch gestattet er nur wenige sogenannte Freiheiten oder Abweichungen von der streng geome- trischen Abbildung.
Adhemar (1797—1862), Professor der Mathematik in Paris, steht in seinem traite de perspective lin^aire, 1838 (3. edit. 1860) (übersetzt von MöUinger, 2. Ausg. 1850), mehr auf dem mathe- matischen Standpunkte; er benutzt den perspektiv konstruirten Grund- riß, und die Breiten-, Tiefen- und Hohenmaßstäbe.
30. De la Goumerie in seiner schon oben angeführten Linear- perspektive (1859) wendet, wie Adhdmar, mei^t den perspektiv kon- struirten Grundriß an. Außer der eingehenden Behandlung der Theaterperspektive ist ihm besonders die sorgßLltige Untersuchung der Freiheiten eigen.
Er macht darauf aufmerksam, daß der Beschauer eines Bildes den richtigen Standpunkt gewöhnlich nicht kennt und seinen Standpunkt wechselt, daß daher diesem Wechsel Bechnung getragen werden muß. Um dies zu können, untersucht er zunächst die B^tihUum, d. h. den im Geiste vorgenommenen Wiederaufbau des Gegenstandes aus seiner Abbildung, und entwickelt, wie diese Aufgabe, an sich unbestimmt, erst durch die Kenntnis von gewissen Eigenschaften des Gegenstandes, z. B. der horizontalen Lage des Bodens, der Recht- winklichkeit von Pfeilern eines Bauwerks, bestimmt wird. Er findet sodann, daß die für verschiedene Standpunkte vorgenommenen Re- stitutionen räumlich homologe (projektive) Gebilde sind, in denen gerade Linien ihre Natur beibehalten, wodurch auch die Schatten- grenzen für alle Standpunkte gleich richtig bleiben, daß femer bei vertikaler Bildebene ein fehlerhafter Standpunkt vorzugsweise Winkel- verzerrungefn, und zwar nur geringe, hervorbringt, daß diese Verzerrung aber unter den bei Bauwerken vorkommenden Körpern wesentlich nur bei runden, wie bei Kugeln, Fußgestellen, SäulenPaßen und Kapi- talen, stört, und rät daher, solche Gegenstände, entsprechend dem Gebrauche der Maler, nur in gerader Ansicht in das Bild einzu- tragen. Wenn man aber erwägt, wie störend zwei an einander stoßende Teile wirken, welche für verschiedene Standpunkte ge- • zeichnet sind, z. B. die gerade Ansicht eines dorischen Kapitals und die schiefe seiner Deckplatte, daß dagegen solche schiefe Ansichten
I, so — 32. Die darstellende Geometrie und Perspektive in Dentschland. 35
aaf Photographien nicht stören , so kann man sich nicht für die oben befürwortete ausnahmslose Zulassung solcher Abweichungen erklären y sondern nur für eine sehr yorsichtige Abweichung mit Yorhergehender Untersuchung auf ihre günstige Wirkung. Am häufigsten wird diese Freiheit bei der menschlichen Gestalt^ insbeson- dere bei dem Kopfe anzuwenden sein, der^ wenn er auch am Rande des Bildes steht, doch nicht in die Breite gezogen erscheinen darf.
Aus Belgien schließt sich Bossuet an^ Maler und Professor an der Akademie der Künste in Brüssel, der in seinem Trait^ de per- spective lin^aire (1871) vorwiegend auf künstlerischem Standpunkte steht. Er tritt der Ausdehnung der Freiheiten entgegen, wie schon früher bei Gelegenheit der .^Hochzeit von Kana^' von Paul Yeronese erwähnt wurde (12), und dringt auf Einheit des Horizontes und Augenpunktes.
V. Die darstellende Geometrie tmd Perspektive in Deutschland.
31. Ebenso wie in Frankreich die Entstehung der darstellen- den Geometrie mit der der polytechnischen Schule zusammenfiel, so entwickelten sich auch in Deutschland die Frojektionslehre und die darstellende Geometrie mit den technischen Lehranstalten, insbesondere den polytechnischen Schulen. Unter Projektionslehre versteht man die Anfangsgründe der darstellenden Geometrie ohne eingehende geometrische Untersuchungen und mit vorwiegender Rücksicht auf die Anwendungen. Meines Wissens ist das erste deutsche Werk dieser Art das von Fr. Weifibrenner (geb. 1766 in Karlsruhe, gest. 1826 daselbst). Derselbe, Oberbaudirektor in Karlsruhe, errichtete eine private Bauschule, für welche er sein architektonisches Lehr- buch schrieb, dessen erster Teil (Tübingen 1810) die geometrische Zeichnungs- und die Licht- und Schattenlehre, und dessen zweiter (1819) die perspektivische Zeichnungslehre behandelt. Es werden die Projektionen von geraden Linien, von ebenen Figuren und von Korpern unter Drehung derselben gezeichnet, der ebene Schnitt von Korpern, insbesondere des Kegels und der Kugel bestimmt, die Schatten ebenflächiger und krummflächiger Körper konstruirt, und die Schattirung von der Licht- und Schattengrenze aus durch das Allmähliche des Überganges bestimmt. In der Perspektive wird mit dem Yerschwindungs- und Teilungspunkte, auch in einer ganz be- liebigen Ebene, konstruirt, es werden die Schatten bei Parallel- und Oentralbeleuchtung ermittelt und besonders Anwendungen auf Ge- bäude gemacht.
32. Um jene Zeit wurden die ersten deutschen polytechnischen Schulen gegründet, in Prag 1801, in Wien 1815, in Karlsruhe 1825,
36 I, 82—33. Geschichte der darstellenden Geometrie.
und in anderen Stadien, und G. Schreiber, geb. 1799, gest 1871, von 1827—1851 Professor der darstellenden und praktischen Geometrie an der letzteren Anstalt, der Vorgänger des Verfassers dieses Buches^ hat das Verdienst, die darstellende Geometrie zuerst in Deutschland yerbreitet zu haben. Denn wenn ihm auch Creieenach mit seinen Anfangsgründen der darstellenden Geometrie (Mainz 1821) voraus- ging, so ist doch das erste umfassende Buch,- das in deutscher Sprache Ober diesen Gegenstand erschien, Schreibers „Lehrbuch der darstellenden Geometrie nach Monge's geometrie deseriptive voll- standig bearbeitet, Karlsruhe und Freiburg 1828 — 29"; es geschah dies nach Monges Ausgabe von 1811, die durch Hachettes Supple- mente bereichert worden war. Diese Bearbeitung enthält schon die fünf Arten der Flächen zweiter Ordnung, die windschiefen Flächen und besonders diejenigen zweiter Ordnung. Weitere und selbständige Arbeiten von Schreiber werden alsbald angeführt werden.
33* Zu dieser Zeit entwickelte sich die projektive oder neuere Geometrie, oder die Geometrie der Lage, welche die früher (2) bezeich- neten projektiven Eigenschaften der Raumgebilde behandelt. Die grundlegenden und umfassenden Werke über dieselbe sind:
Voncelet, Traite des Propriet^s projectives des Figures, Paris 1822, 2. Aufl. 1866;
Mobius, der barycentrische Caicul, Leipzig 1827;
Steiner, Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geome- trischer Gestalten von einander, Berlin 1832;
von Staudt, Geometrie der Lage, Nürnberg 1847;
von Staudt^ Beitrüge zur Geometrie der Lage, Nürnberg 1856 bis 18(50;
67ki*7fS, Traite de Geometrie superieure, Paris 1852.
Dieser Wissenszweig, der auf derselben Grundanschauung, wie die darstellende Geometrie beruht, konnte nicht ohne Ebfluß auf dioHolbe bleiben. Er dient zur tieferen Erforschung der Eigen- Schäften der Projektionen, zur Vereiufi^-^^^nns^ der Konstruktionen und besonders zur geometrischen Erforschung ucr Linien and Flächen « weiten Grades. Das Hereinziehen der projektiven in die darstellende («eometrio geschah vorwiegend in DadschUwd, und es wurde dadurch dio lot/.toro Wissenschaft ganz selbständig gemacht^ während sie in hhmhrich längere Zeit in mancher Beziehung von der analytischen tU'ometrie abhängig blieb, indem sie sich auf deren Ergebnisse »talute. Dies, sowie die Entwickeluug der Axonometrie und der Be- louchtungslehre bezeichnet im wesentlichen die Richtung, welche un«ore Wissenschaft in Deutschland genommen hat, während in IVünkreich vorwiegend die Uni^r-uchung der verschieil^neu Flächen
I, 33 --34. Die darstellende Greometrie und Perspektive in Deatschland. 37
und Euryen, insbesondere ihre Krümmung; mit geometrisclien und analytischen Mitteln verfolgt wurde.
Der erste; welcher auf Grundlage der oben genannten Werke von Poncelet und Steiner den gegebenen Weg einschlug, war G. Schreiber in seinem ^geometrischen Fort-Folio^ Kurs der darstellenden Geometrie und ihrer Anwendungen, Karlsruhe, I. Heft 1839; IL Heft 1843."
Er führte in perspektiver Darstellung die Aufgaben über Durch- schnitte; Abstände und Winkel von Punkt; Gerade und EbenC; und die Schattenkonstruktion von CylinderU; Kegeln und einigen Um- drehungsflächen durch. Er entwickelte die Sätze über projektive Punktreihen und Strahlenbüschel; dann die projektiven und die Brennpunktseigenschaften der Kegelschnitte, insbesondere auch ihre Polarität; und leitete daraus für die Flächen zweiten Grades ; haupt- sächlich die Umdrehungsflächen; Eigenschaften ab.
Außer einigen populären Werken, darunter ein ;;technisches Zeichnen'^; das eine elementare darstellende Geometrie und eine Farbenlehre enthält; verfaßte G, Schreiber eine „malerische Ferspek- tivCj Karlsruhe 1854'^; welche in verständlicher Weise für Künstler geschrieben und mit vielen kunstgeschichtlichen Bemerkungen und mit Untersuchungen von Bildern bedeutender Maler versehen ist. Den sogenannten Freiheiten gewährt auch er keinen großen Spielraum. •
84. B. Gugler (geb. 1812 in Nürnberg, Professor an der poly- technischen Schule in Nürnberg, seit 1843 an derjenigen in Stutt- gart, gest. 1880) gab ein „Lehrbuch der beschreibenden Geometrief^, (Nürnberg 1841; 4. Aufl. Stuttgart 1880) herauS; in welchem unsere Wissenschaft selbständig und unabhängig aufgebaut ist. Bei Unter- suchung der Kurven ist häufig das analytische Verfahren; bei der der Flächen mehr das geometrische mit Benutzung der affinen Yer- wandschaft bei den Flächen zweiten Grades angewendet. Die pro- jektive Geometrie ist nicht als Grundlage benutzt, aber es sind Teile derselben; wie die Polarität hereingezogen. Die Beleuchtungslehre und Perspektive bleiben ausgeschlossen. Gugler hat besonders sorg- faltig die Projektionen der regelmäßigen Körper untersucht und einige Beziehungen gefunden; welche ihre Darstellung vereinfachen.
J. Honig, s. 2L Prof. der darst. Geom. am polytechnischen In- stitute in Wien; schrieb eine ,yAnleittmg gum Studium der darstellen- den Geometrie^ Wien 1845" worin die Aufgaben über Punkt, Gerade und Ebene mit einer reichen Auswahl von Beispielen behandelt, die krummen Linien analytisch untersucht, für die krummen Flächen aber ohne tieferes Eingehen nur die Konstruktionsanfgaben gelöst
38 ^» 84—36. GeBchiohie der darstellenden Geometrie.
sind. Einige Konstruktionen yod Linien gleich starker Beleuchtung, auf die wir noch zurückkommen werden, und ein kurzer Abriß der Perspektive bilden den Schluß.
Klingenfeld, Prof. der darst Geom. früher in Nürnberg, dann an der polytechnischen Schule in München, starb daselbst, 64 Jahre alt, im Jahre 1880. Er schrieb ein ffLehrbuch der darstellenden Geo- metrief\ Nürnberg, (eines für Gewerbeschulen 1851 und ein um- fassenderes 1871—74). Nach dem Yorg^ge Bardins (Notes et croquis de G^om. descr. 1847), der die Aufgaben über Ebenen nicht durch ihre gegebenen Spuren, sondern durch gegebene Projektionen dreier Punkte derselben lost, verfolgt Elingenfeld diese Darstellungs- weise der Ebene und lehrt dabei den Einfluß einer Parallelver- schiebung der Perspektionsaxe, sowie ihre Entbehrlichkeit Wir werden später finden, daß sich bei dieser Darstellungsweise die Losung mancher Aufgaben besonders einfeich gestaltet. Auf nähere Untersuchung der krummen Flächen geht Elingenfeld nicht ein und gegen die projektive Geometrie verhält er sich ablehnend.
FoMkey Prof. der darst. Geom. an dem Gewerbeinstitute in Berlin, gest. 1877, schrieb eine darstellende Geometrie, deren erste Abteilung in Berlin 1860 erschien, während die zweite Abteilung, verbunden mit der vierten Auflage der ersten, erst 1876 herauskam. Pohlke zieht die Axonometrie, die Grundlagen der Perspektive und der Raumprojebtion in das Bereich der Erörterungen, entwickelt und benutzt einige Sätze der neueren Geometrie, ohne deren Charakter voll seiuen Untersuchungen aufzuprägen. Das Werk zeichnet sich durch Reichtum des Stoffes bei sehr knapper Behandlung aus, und es ist überall Bücksicht auf die Bedürfnisse der Technik genommen« Von Pohlke rührt der später zu behandelnde Fundamentalsatz der azonometrischen Parallelprojektion her.
36. Die volle Einführung der projektiven in die darstellende Geometrie ist hauptsächlich Herrn W. Fiedler^ früher Lehrer an der höheren Gewerbeschule in Chemnitz, dann Prof. der darst. Geom. an der polytechn. Schule in Prag, jetzt an derjenigen in Zürich, zu verdanken. Nachdem er in einer Programmschrift „die Centralpro- jektion als geometrische Wissenschaft^ (Chemnitz 1860) die^ Auf- gaben über Punkt, Gerade, Ebene und ihre Verbindungen, über Begelflächen und ihre Durchschnitte durch centralprojektive Dar- stellung in der Weise, wie Cousinery behandelt hatte, nachdem er femer in einer Abhandlung „Über die Trausformationen in der dar- stellenden Geometrie" (Zeitschr. f. Math. u. Phys., 9. B., 1864, S. 331—355) die Wirkungen der Veränderung des Projektionscen- trums und der ParallelverschiebuDg und Drehung der Projektions-
Ii d6. Die darstellende Geometrie and Perspektive in Deutscliland. 39
ebene bei der Parallel- und Gentralprojektion untersucht hatte, ent- wickelte er in einem Aufsatze ;;die Methodik der darstellenden Geometrie zugleich als Einleitung in die Geometrie der Lage^' (Sitzungsber. d. Akad. d. Wiss. in Wien, 2. Abi, 1867, 55. B.) die fQr die darstellende Geometrie wichtigsten Sätze der Geometrie der Lage und die Art ihrer Verwertung in der darstellenden Geometrie, und vollbrachte dann die dort nur angedeutete Verschmelzung bei- der Gebiete, nachdem er sie Jahre hindurch bei seinem Unterrichte durchgeföhrt hatte, in seinem Werke „die darstellende Geometrie^\ Leipzig 1871 (2. Aufl. 1875). Das Eigentümliche des Werkes ist, einerseits, daß zuerst die Methodenlehre, d. i. die Gesamtheit der verschiedenen Projektionsverfahren, dargestellt, und daß dann die konstruktive Theorie der krummen Linien und Mächen, unter wech- selnder Benutzung jener Projektionsverfahren entwickelt wird, an- dererseits, daß die projektive Geometrie mit den Erörterungen eng verflochten ist. Lisbesondere enthält der erste Teil die Methoden- lehre, geht von den allgemeinen Fällen der Gentralprojektion und der Beliefperspektive aus, fügt die Parallel-, insbesondere die senk- rechte Projektion mit der Axonometrie an, und benutzt ihre Ver- fahrungsweisen einerseits zur Lösung der Hauptaufgaben über Punkt, Gerade und Ebenen, andererseits zur Entwickelung der wichtigsten Sätze der projektiven Geometrie und der Eigenschaften der Kegel- schnitte. Darauf folgt im zweiten Teile die konstruktive Theorie der krummen Linien und Flächen, wobei die Schraubenlinie und die developpable Fläche ihrer Tangenten, die Flächen zweiten Grades, ihre gegenseitigen Schnittlinien und deren Developpabeln in ihrer reciproken Beziehung, die windschiefen und die Rotationsflächen eine besondere Beachtung erhalten. Die Beleuchtungslehre, insbesondere ihre Anwendung auf Umdrehungsflächen, ist in das Werk herein- gezogen. Zum Schluß werden die sonst nicht in die darstellende Geometrie einbegriffenen projektivischen Koordinaten behandelt. Das Werk zeichnet sich durch weitgehende theoretische Erörterungen und durch Allgemeinheit der Gesichtspunkte aus. Herrn Fiedler gebührt ein Hauptteil des Verdienstes, in Deutschland der projek- tiven Geometrie die Aufnahme in den Unterricht der darstellenden Geometrie an den technischen Hochschulen verschafft zu haben.
Li allemeuester Zeit (Ende 1883) ist der erste Band einer dritten auf drei Bände berechneten Auflage des Werkes erschienen, welche hauptsächlich durch die Aufiiahme der Grundzüge der Cykloffraphie erweitert worden ist. Diese Darstellungsweise bestimmt einen Punkt P durch seine senkrechte Projektion P' auf die Projek- tionsebene, und einen Kreis, der in dieser Ebene um P' als Mittel-
40 ly 36—37. Geschichte der darstellenden Qeometrie.
punkt mit einem HalbmeBser =^P' P gezogen wird. Die Bestimmung ist zweideutig. Eine Linie wird durch die Einhüllende jener Kreis- projektionen ihrer Punkte dargestellt. Diese Darstellungsweise wurde von Herrn Fiedler durch seine Arbeiten eingeführt: Ein neuer Weg zur Theorie der Kegelschnitte (Yereinsschr. d. math. Ges. in Zürich, B. 25, 1880); zur Geschichte und Theorie der elementaren Ab- bildungsmethoden (das. B. 27, 1882); Cyklographie oder Construk- tion der Aufgaben über Kreise und Kugeln, 1882. Das Verfahren erweist sich besonders nützlich zur Auflösung der Apollonischen Aufgaben über Kreisberührungen, wie schon bei Gousinery erwähnt wurde (29), und liefert anziehende Ableitungen für die Kegelschnitte. Auch Herr Schlesinger hat den Gedanken der Verschmelzung der darstellenden mit der projektiven Geometrie durchgeführt in seinem Werke „ZW^ darstellende Geometrie im Sinne der neueren Geometrie, Wien 1870". Er geht von der Projektion in der Ebene aus, wodurch aber sogleich die hier willkürliche und nur durch Zweckmäßigkeit gerechtfertigte Annahme erforderlich wird, daß die Projektion einer Geraden wieder eine Gerade werden soll; eine Be- ziehung, welche nur in der räumlichen Projektion auf eine Ebene als Nothwendigkeit erscheint. Seine Behandlungsweise der schiefen Projektion soll bei Betrachtung der geschichtlichen Entwickelung dieses Zweiges mitgeteilt werden.
36. Im Anschluß an die vorhin angeführte Arbeit Fiedlers „über die Transformationen in der darstellenden Geometrie (1864)" ist mitzuteilen, daß der gleiche Gegenstand von Herrn Tilscher, Prof. an der czechischen techn. Hochschule in Prag, in seinem „System der Perspektive, Prag 1867" behandelt wird, während, wie die Verfasser sagen, beide Bearbeitungen gleichzeitig ausgeführt worden waren. Außer den ausführlich behandelten Modifikationen (Verschiebungen) des Pro- jektionscentrums, der Bildebene und des Gebildes führt H. Tilscher die Aufgaben über Punkt, Gerade, Ebene und einige krumme Linien und Flächen, ihre Schnitte und Schatten in perspektiver Darstellung durch.
In ausgedehnterer Weise werden diese Aufgaben gelöst in dem Werke „Freie Perspektive", Hannover 1868, von v. Feschka und Koutny, Besonders hervorzuheben sind hier die genauen Konstruk- tionen der Umrisse der Flächen, insbesondere der Umdrehungsflächen durch berührende Kegel und Cy linder und die Bestimmung von konjugirten Durchmessern, sowie der Axen des Umrisses der Um- drehungsflächen zweiten Grades, darunter eine einfache, von Herrn Koutny herrührende, für die Kugel.
37. Herr Hauck, Prof. an der techn. Hochschule in Berlin, er- klärt in seiner Schrift „Die subjektive Perspektive und die horizon-
I, 37. Die darstellende Geometrie und Perspektive in Dentschland. 41
talen Corvaturen des dorischen Styls, Stuttgart, 1879'^ die Aufgabe der Perspektive der Erörterung fQr bedürftig, indem er „unter einer Abbildang nicht einen schablonenmäßigen Abklatsch, sondern eine freie Wiedergabe des Eindrucks Tcrsteht, den das Auge und die Seele von dem Naturobjekt empföngt^' Er unterscheidet das kol- linear-perspektive System Ton dem konform-perspektiven. Das erstere ist das gewöhnliche, in welchem einer Geraden eine Gerade ent- spricht; das zweite bringt die Länge der Abbildungen von Strecken mit ihren Seh winkeln in Verhältnis, was aber streng nur durch die Eugelperspektive erreichbar ist. Durch Kompromisse zwischen beiden Systemen sucht er die Abbildung von dem am meisten befriedi- genden Eindrucke zu erzielen, und hält dabei die Abbildung von geraden Linien durch schwach gekrümmte für nicht unzulässig. Doch soll im wesentlichen (namentlich nach späteren AusfQhrungen) die gewöhnliche Perspektive mit Freiheiten in Bezug auf runde Formen, insbesondere die menschliche Figur, angewendet werden. H. Hauck fügt eine anziehende Darstellung der physiologischen Vorgänge beim Sehen, insbesondere der Mitwirkung der Bewegung des Augapfels in der Augenhöhle, hinzu.
Eine Bestimmung der Brennpunkte und Axen der Kegelschnitte, welche bei üentralprojektion die wahren und die scheinbaren Um- risse, oder bei Centralbeleuchtung die B^gen- und Schlagschatten- grenzen der Flächen zweiten Gradey^ en, lieferte in einfacher Weise Herr Pelßy Prof. an der tedr .hschule in Graz.*)
Ganz neuerdings sind die zjr Bände des auf vier Bände
berechneten Werkes „Darstelr projektive Geometrie" von
17. PescUca, Prof. an der technische. chule in Brunn, erschienen.
Im ersten Bande (Wien 1883) ist^ ilich wie bei Fiedler, die Methodenlehre an die Spitze gestellt; > eigentümliche Behandlung der schiefen Projektion soll später mitgeteilt werden. Im zweiten Bande (1884) über die „Theorie der Curven und Flächen" ist dieser Gegenstand auf Grund von Sätzen der Analysis (z. B. des Prinzips der Erhaltung der Anzahl, des Korrespondenzprincipes u. a.) in weit- gehender Weise behandelt, und dann unter Benutzung von gewonnenen Ergebnissen die „konstruktive Theorie der krummen Linien und Flächen'* für Cylinder und Kegel und für gewisse andere develop- pable Flächen ausgeführt. Es ist aber hier die projektive Geometrie nicht nur soweit behandelt, als es ihre Anwendung auf die dar-
*) Sitzungsber. d. Akad. d. Wies, in Wien, 76. B., 2. Abt., 1877; 77. B., 2. Abt, 1878; 27. Jahresber. d. ateier. Landesoberrealschule in Graz, 1878; und am kürzesten in den Sitzungsber. d k. böhm. Ges. d. Wiss., ISSO.
42 If 87—89. Geschichte der darstellenden Geometrie.
stellende Geometrie erfordert; ihre selbständige Entwickelang bildet vielmehr, worauf auch der Titel hinweist, einen wesentlichen Teil der Aufgabe des Werkes.
VL Die darstellende (Geometrie in Italien,
38. Aus Italien rührt ein gehaltreiches Werk her, die ^^Lezioni di geometria descrittiva, Padova 1851" von G. Bellavitis, geb. 1803, seit 1845 Prof. der darst Geom. an der Universität Padua, gest. 1880, nachdem er an seinem Todestage noch eine Vorlesung gehalten hatte. Es ist in das genannte Werk eine reiche Fülle von Theorie eingeflochten, so die Lehre der Derivationen, insbesondere der pro- jektiven Ableitung der Eigenschaften der Linien und der Flächen zweiter Ordnung aus denen des Kreises, der Kugel und des ein- schaligen ümdrehungshyperboloids, die Principien der höheren Geo- metrie, besonders die Sätze über die Krümmung der ebenen und unebenen Kurven und der Flächen. Manche der Sätze werden als Ergebnisse der Analysis angeführt, die meisten aber sind hergeleitet, und zwar meist auf geometrischem Wege und in der einfachsten Weise. Das Werk zeichnet sich durch wohlthätige Gedrängtheit der Darstellung, durch außerordentliche Kürze der Beweise und durch hervorragende Einfachheit der Konstruktionen aus. Als Bei- spiel mag die in dieses Werk herübergenommene Herleitung der drei Grundformeln der sphärischen Trigonometrie dienen, welche, abge- sehen von einer einzigen Hilfsgleichung, unmittelbar aus der Figur abgelesen werden.
vn. Die schiefe Projektion und Axonometrie.
39* Die senkrechte Projektion eines Körpers auf eine Ebene, welche normal zu Kanten desselben steht, gibt ein sehr unvollstän- diges Bild desselben, weil die Ausdehnung in der Richtung jener Kanten nicht sichtbar wird, um solchen Projektionen die Anschau- lichkeit zu geben, ist es seit langer Zeit gebräuchlich, von den Pro- jektionen der einzelnen Punkte ausgehend, in der Zeichenfläche in einer passend gewählten, aber unveränderlichen Richtung gerade Linien zu ziehen und auf ihnen die Längen der zugehörigen Pro- jicirenden nach dem Maßstabe der Projektion aufeutragen. Auf diese Weise erhielt man eine schiefe ParaüdprqjekHon des Gegen- standes, bei welcher die Schief- projicirenden 45^ mit der Projek- tionsebene bilden, und welche man KavalierperspekHve nannte. So fügte man dem Plane einer Stadt die Gebäudehöhen, der Projektion von Gewölbsteinen auf ihre Stirnflächen die Tiefe der Steine zu,
1, 39 — iO. Die darst Greometrie inltaUen. Die schiefe Projektion n. Axonometrie. 43
and erhielt Ansichten mit allen Seitenflächen dieser Gegenstände. Das schon angeführte Werk ^^Derand, Tarchitecture des yontes (1643)'' bietet Beispiele dazu.
Denkt man sich mit den drei auf einander senkrechten Eanten- richtongen, wie sie bei technischen Körpern gewohnlich vorkommen, parallele Eoordinatenaxen gelegt, so liegt bei der Eavalierperspek- tiye eine Axe senkrecht zur Bildebene, zwei liegen parallel zu der- selben, deren Richtungen aber für die Darstellung gleichgültig sind. Man erhält dadurch in Wahrheit nur eine Eoordinatenebene und eine darauf senkrechte Eoordinatenaze.
40. Lambert in seiner „freyen Perspektive, 1759" hat eine theoretische Erweiterung herbeigeführt, indem er die Bildebene auf- recht, aber geneigt gegen die zwei wagrechten Axen stellte, und die Abbildungen der Axen und die in ihnen herrschenden Ver- kürzungen nach dem Verfahren der Perspektive bestimmte, indem er die Regeln für einen endlichen Augenabstand auf den Fall eines unendlich großen dadurch übertrug, daß er die Maße der Eörper un- endlich klein annahm. In neuerer Zeit hat Herr Schlesinger in seiner darstellenden Geometrie (1870) diesen Grundgedanken wieder auf- gefaßt, und in ganz ähnlicher Weise, wie dies jetzt in der Per- spektive geschieht, mittelst des Distanzkreises eine Reihe von Grundaufgaben gelöst; er nimmt in endlichem Abstände von der Bild- ebene einen Punkt, das Hilfsauge an, legt durch dasselbe Parallele zu den fraglichen Geraden und Ebenen, deren Schnitte mit der Bild- ebene er Fluchtpunkt der Geraden, bezw. Fluchtspur der Ebenen nennt, und löst mittelst dieser die Aufgaben über Richtungen der schiefen Projektionen von Geraden, über Senkrechte, Abstände, Winkel u. s. w. Dabei wendet er außer der (vertikalen) Bildebene häufig noch eine zweite (horizontale) Eoordinatenebene an. — Von einer solchen macht sich vollkommen frei Herr v, Peschka in seinem Aufsatze „freie schiefe Projektion'^*) Ahnlich wie Schle- singer ein HUfsauge, ein Nebenauge und einen Distanzkreis, so nimmt v. Peschka ein Prqjdctionsdreieck an, durch welches er die Stel- lung der projicirenden Strahlen gegen die Bildebene bestimmt; durch das Nebenauge Schlesingers legt er eine zur Bildebene parallele Ebene, die Dista/mAenßj bestimmt die Lage einer Geraden und einer Ebene durch deren Spuren mit der Bild- und Distanzebene, welche bei der Ebene parallele Gerade sind, und verzeichnet von ihnen die
*) Sitzungsber. d. math. nat. Cl. d. Akad. in Wien, B. 76, Abt. 2, 1877, 8. 917. — V. PeBchka, „Darstellende und projective Geometrie", Wien 1883, S. 212 fL
44 I, 40—42. Geschichte der darstellenden Geometrie.
schiefen Projektionen. In dieser, besonders für die Darstellung Ton Ebenen sehr vorteilhaften Weise sind auch in dem yorliegenden Buche einige Aufgaben gelöst, und dabei durch Ersetzen des Pro* jektionsdreiecks durch den Distanzkreis noch einige Vereinfachungen erreicht
Eine ganz andere Art der Auflösung der Grundaufgaben durch schiefe Projektion hat Herr Burmester 1871 in seinem Aufsatze „Grund - Züge der schiefen Parallelprojektion''*) geliefert, worin er drei auf einander senkrechte Eoordinatenebenen annimmt, deren eine die Bild- ebene ist; und dann mittelst Umlegung in die Bildebene die wahren Längen^ Winkel und Gestalten ebener Figuren in einfacher Weise bestimmt.
41. Sollen bei senkrechter Projektion alle drei Eoordinatenaxen und -Ebenen ausgedehnt erscheinen^ so müssen alle Axen gegen die Bildebene geneigt werden. Man nennt nun das Abbildungsyerfahren, welches die senkrechte Projektion eines Köpers Termittelst der Koor- dinaten seiner Punkte liefert^ Axonometrie^ und in ihr muß zuerst das Axenkreuz mit dem Verkürzungsverhältnisse für jede Axe be- stimmt werden. Diese Aufgabe ist unter derselben Grundanschauung, wie bei Lambert^ yon Karsten in seinem „Lehrbegriff der gesammten Mathematik, Greifswald 1775" (7. Teil, die Optik und Perspektiv, 14. Abschnitt) behandelt. Karsten entwickelt die Formeln für die Winkel und Verkürzungen der Axen und gebraucht dabei die Be- nennungen „reducirtes Auge, reducirter Augenpunkt*^.
Eine ausgedehnte Anwendung fand die Axonometrie mit un- gleichen Verkürzungen der drei Axen zuerst beim krystallographischen Zeichnen, insbesondere von Mdhs (Grundriß, der Mineralogie, 1822 — 24), von Breithaupt (Handbuch der Mineralogie, 1841—52) und Nau- mann (Anfangsgründe der Mineralogie, 1841). In seinem früheren Lehrbuche der reinen und angewandten Krystallographie (1830) wendete Naumann noch eine schiefe, von ihm klinographisch ge- nannte Projektion an, die sich aber von der senkrechten^ axono- metrischen, durch den Anblick allein nicht unterscheiden läßt, weil er die Bildfläche nicht zu zwei Axen parallel stellt. Gerade bei dieser Stellung gewinnt aber die schiefe Projektion erst einen Vor- teil vor der senkrechten durch die größere Leichtigkeit der Her- stellung; und deswegen wird diese Stellung sonst stets bei der schiefen Projektion gewählt, so auch von Kopp in seiner Einleitung zur Krystallographie (1849, 2. Aufl. 1862).
42. In der Technik wurde zuerst die einfachere isometrische
♦) Zeitschr. f. Math. u. Phys., 16. B., S 449.
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I, 42—48. Die schiefe Projektion und Axonometrie. 45
Projektion benutzt, und zwar von Farish, welcher ihr diesen Namen gab und sie auf die Abbildung von Maschinen anwendete; er ver- öffentlichte sein Verfahren in einer Abhandlung über ^^isometrical perspective^' in den transactions of the Cambridge philosophical Society, 1820. Sie hat ihre Grundlage in dem Satze, daß sich der Würfel auf die zu einer seiner Diagonalen senkrechte Ebene als regelmäßiges Sechseck projicirt, welcher Satz längst bekannt war, indem man in Keplers harmonia mundi (1619) den Würfel so ab- gebildet findet. Der einfache Beweis war gewiß ebenfalls längst geliefert; ich habe einen solchen in Fregier (coupe des pierres, 2. edit., B. I, 1754, S. 319) und bei Kästner (mathematische Anfangsgründe, I. T., Gottingen, 1758) gesehen. Die Abhandlung von Farish ging in Crregarys „mathematics for practical men, London 1825'^ über. Das Verfahren wurde weiter entwickelt von Brandes in seiner „Iso- metrischen Perspektive" (Gehlers phys. Wörterbuch, B. 7, Abi I, 1833) und von Saptvith, (a treatise on isometrical drawing, London 1834).
Ein weiterer Schritt geschah von MöUinger^ welcher in seiner „isometrischen Projectionslehre, Solothurn 1840'^ die „zweiaxig-iso- metrische Frojection^' zufügte, indem er den wagrechten Axen ein und dieselbe, aber von derjenigen der lothrechten abweichende Ver- kürzung gab. Die Konstruktion führte er an einem Würfel durch dessen Drehung aus. MoUinger löste auch die allgemeine Aufgabe der Projektion des Würfels bei beliebiger Stellung gegen die Pro- jektionsebene, aber nur auf dem Umwege der Zurückführung auf die „zweiaxig-isometrische^^ Projektion vermittelst eines dem wag- rechten Quadrate umschriebenen zweiten Quadrates.
43. Die volle Verallgemeinerung geschah durch Weisbach in seinem Aufsatze „Über die monodimetrische und anisometrische Pro- jektionslehre^' (polytechnische Mittheilungen von Volz und Karmarsch, Tübingen 1844, B. I, S. 125 — 136), indem er eine von der Perspek- tive unabhängige mathematische Begründung gab, die angegebenen Benennungen schuf (die aber jetzt vielfach durch die einfacheren isometrisch, dimetrisch, trimetrisch'^ ersetzt werden), und rationale Verhältnisse unter den Einheiten der drei Maßstäbe einführte. Zu- gleich machte er die dimetrische Projektion erst recht brauchbar dadurch, daß er nicht die zwei wagrechten, soudern eine wagrechte und die lothrechte Axe gleich stark verkürzte. Die Winkel und die Verkürzungsverhältnisse der Axen stellte er durch Rechnung fest.
Skuhersky in seiner „orthograjAiischen Parallelperspektive, Prag 1858^ benutzte die Konstruktion statt der Rechnung und bestritt den Wert der rationalen Verhältnisse, weil er durch Herstellung
46 I, 43—44. Geschichte der daratellenden Geometrie.
besonderer Maßstabe aufgehoben werde. — Noch mögen die Brüder C, Th, Meyer und M. H. Meyer genannt sein^ welche in einem aus- gedehnten j^ehr buche der Axonometrie, Leipzig 1852" auf Weis- bach fußend, eine Menge von Anwendungen auf die Technik liefern, und Ijargiader, welcher in seinem Werke „das axonometrische Zeichnen, Frauenfeld 1858" verschiedene Aufgaben über die Winkel und Ver- kürzungsverhältnisse geometrisch lost.
Sodann geben PoMke (1860) und Fiedler (1871) in ihren oben angeführten Werken über darstellende Geometrie umfassende Be- arbeitungen der Axonometrie unter Benutzung der Rechnung und der Konstruktion. — Einen grundlegenden Satz in Bezug auf die schiefe Parallelprojektion yeroffentlichte PohOce in der ersten Auf- lage seiner darstellenden Geometrie (Berlin 1860), den er nach den Mitteilungen von Herrn Schwarz (Joum. f. reine u. angew. Math., B. 63) schon im Jahre 1853 gefunden und bewiesen hatte, und der später dargestellt werden soll, nach welchem drei in einer Ebene von einem Punkte aus in beliebigen Richtungen und Längen gezogene Strecken als die Parallelprojektion eines rechtwinkligen Axenkreuzes mit gleichen Längen der Axenabschnitte angesehen werden können, wenn gewisse Grenzlagen ausgeschlossen werden.
44. Eine Durchführung der häufigst vorkommenden Aufgaben der darstellenden Geometrie gab Herr Standigl in seiner „axono- metrischen und schiefen Projektion, Wien 1875". Er teilte diese Aufgaben in solche der Lage und solche des Maßes. Die ersteren werden, wie H. Staudigl hervorhob,*) bei jeder Projektionsart auf dieselbe Weise gelost, wobei er den Satz anwandte, daß jede Ab- bildung eines Raumgebildes zugleich als Central- und Parallelpro- jektion von unendlich vielen Raumgebilden betrachtet werden kann, die alle unter einander kollinear verwandt sind, welchen Satz schon de la Goumerie bei seinen früher (30) erwähnten Restitutionen aus einem Perspektiven Bilde voraussetzte. Bei der Auflösung der Auf- gaben des Maßes bestimmte H. Staudigl die wahren Gestalten in den Eoordinatenebenen durch Umlegung in die Bildebene vermittelst der Ereuzrißebene.
Sehr einfache Lösungen der Grundaufgaben lieferte Herr Pde in seinen Aufsätzen „zur wissenschaftlichen Behandlung der ortho- gonalen Axonometrie",**) worin er in einer der Eoordinatenebenen
*) Staudigl^ „Ober die Identität von Construktionen in perspektivischer, schiefer und orthogonaler Projektion**.. Sitznngsber. d. Akad. in Wien, B. 64,
Abt. 2, 1871.
•*) Sitznngsber. d. Akad. d. Wiss. in Wien 81. B , 2. Abt. (1880) S. 800 und
83. B., 2. Abt. (1881) S. 375.
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I, 44 — 45. Die ReliefpenpektiYe. 47
zu einer gegebenen Geraden eine in Wahrheit Senkrechte, ohne Um- legung zeichnet, und Umlegungen beliebiger Ebenen in die Bild- ebene ohne vorherige Bestimmung wahrer Längen dadurch Tor- nimmt, daß er in jener Ebene irgend einen in Wahrheit rechten Winkel angibt. Die Auflosung dieser beiden Aufgaben bildet aber die Grundlage für viele andere Konstruktionen. In vorliegendes Buch sind diese Losungen aufgenommen.
Die Abbildung mittelst schiefwinkliger Eoordinatenaxen durch Konstruktion und durch Rechnung hat Herr Hauck in einem Auf- satze jyGrundzQge einer allgemein axonometrischen Theorie der dar- stellenden Perspektive^^ (ISTö)"^) durchgeführt Sodann hat Herr Tessari in seinen ,,Projezioni assonometriche ortogonali ed oblique, Torino 1882" eine klare Darstellung dieser Lehren gegeben. Die mannig- faltigen Aufgaben über Bestimmung der Winkel und Yerkürzungs- Verhältnisse der Axen, wenn von diesen sechs Großen zwei gegeben sind, hat Herr Tesaf in einem Aufsatze über den „orthogonal-axono- metrischen Verkürzungskreis"**) in einfacher Weise gelöst. Dieser Yerkürzungskreis soll auch im folgenden benutzt werden.
VnL Die Belieflperspektive.
46. Die Beliefperspdäive gibt ,eine raumliche Abbildung von räumlichen Gebilden unter der Annahme, daß die Abbildung jeder geraden Linie wieder eine gerade Linie sei. Hierdurch wird der Baum von der Bildfläche bis ins Unendliche in der Schicht zwischen der Bild- fläche und einer mit ihr parallelen Ebene, der Flucht- oder Verschwin- dungsebene, dargestellt Die frühesten Leistungen auf diesem Ge- biete sind die schon (11) erwähnten, von Lorenzo Ghtberti an den Thüren des Baptisteriums in Florenz 1424 — 47 in Bronze ausge- führten BUdnereien. Sie sind sowohl an sich wie besonders mit Bück- sicht auf ihre Zeit staunenerregend. An sich genommen erscheinen noch vollendeter die Marmorreliefe an dem Grabdenkmale ]^xi- milians I. in der Hofkirche in Innsbruck, welche von Alexander Colin aus Hecheln (1526—1612) im Jahre 1563 und den folgenden ausgeführt wurden.
In theoretischer Beziehung spricht A, Bosse in seinem traite des pratiques geometrales et perspectives, Paris 1665, den Gedanken aus, daß die geringe Tiefe eines Basreliefs nach dem Perspektiven Maßstabe behandelt werden müsse, ohne jedoch weiter ins Einzelne einzugehen. Diese Anschauung verdankt Bosse ohne Zweifel seinem
•) Ztechr. f. Math. u. Phys., 21. B., S. 81. ♦^ Sitrongaber. d. Akad. d. Wi»B. in Wien, 81. B., 2. Abt. (1880), S. 463.
48 I) ^6 — 46. Geschichte der darstellenden Geometrie.
Lehrer Desargues, da er, wie schon früher erwähnt, selbst erklärt^ die von Desargues erfundenen Yerfahrungs weisen der Perspektive zu yeröffentlichen.
Das erste wissenschaftliche Werk über unseren Gegenstand rührt ▼on Breysig, Theatermaler und dann Kunstschuldirektor in Danzig, her und hat den Titel ^^Versuch einer Erläuterung der Relief Per- spektive, Magdeburg 1798'^ Breysig schlägt darin die Bezeichnung Reliefperspekt^ve vor, nimmt die erwähnten zwei parallelen Ebenen an, deren vordere, welche dem Gegenstande und seiner Abbildung gemeinsam ist, er die Bildfiäche, deren hintere er die Hauptebene nennt. Die Abbildung einer Geraden bestimmt er durch ihren Durchgang mit der Bildfiäche und durch ihren Yerschwindungs- punkt auf der Hauptebene, welcher durch den zur Geraden parallelen Gesichtsstrahl (aus dem Auge) bestimmt wird. Die Abbildung eines Punktes konstruirt Breysig auf verschiedene Weisen; sowohl durch die Perspektive von Geraden, die durch ihn gelegt sind, als auch mit Hilfe des nach ihm gezogenen Gesichtsstrahles.
Poncdet in seinem „Traite des propri^tes projectives'* (1. edit.. 1822, 2. edit. 1865 — 66) untersucht die projektive Verwandtschaft der Raumgebilde und ihrer Reliefabbildungen unter der Bezeichnung „th^orie des figures homologiques, ou perspective-relief% wobei be- sonders die Flächen zweiter Ordnung, die Systeme ihrer Kreisscbnitte, die Schnittlinien zweier solchen Flächen, deren vier doppeltproji- cirende Kegel, und die Axen der Flächen betrachtet werden.
Anger entwickelt in seiner „analytischen Darstellung der Bas- reliefperspektive, 1834'* die Formeln für die Abhängigkeit der Koor- dinaten beider Gebilde, und gibt in seinen „Beiträgen zur Basrelief- perspektive, 1836" die Anwendung auf die Flächen zweiter Ordnung, worin er z. B. die Aufgabe behandelt, die Kugel zu finden, von welcher eine gegebene Fläche zweiter Ordnung die basreliefperspek- tive Projektion ist. Man vergleiche auch seinen Aufsatz „über die Transformation der Figuren in andere derselben Gattung'^ in Grunerts Arch. f. Math. u. Phys., 4. B., 1844, S. 281.
46. Guido Schreiber in seiner malerischen Perspektive, Karls- ruhe 1854, gibt ein Beispiel zur Konstruktion des Reliefs eines Ge- bäudes, und spricht die Entscheidung über die Anwendbarkeit der Perspektiven Regeln in der Kunst des Reliefs den Künstlern zu (S. 101). Eine ausgedehntere Arbeit über Reliefperspektive ver- öffentlichte Poudra in seinem traite de perspective- relief, Paris 1862, worüber schon 1853 Chasles in den Comptes rendus, B. 37, S. 880, berichtete. Poudra gibt darin verschiedene Verfahren zur Kon- struktion des Reliefs von technischen Gegenständen an. In rein
I, 46. Die Reliefperspektive. 49
geometrischem Sinne wurde die kollineare Verwandtschaft räumlicher Systeme von v, Staudt in seinen Beiträgen zur Geometrie der Lage^ 3. Heft, Nürnberg 1860, und von Beye in seiner Geometrie der Lage, Hannover 1866 (2. Aufl. 1877), weitergeführt. Marstadt in einem Aufsätze „über räumliche Projection (Reliefprojection), insbesondere diejenige der Kugel" in Schlomlichs Zeitschr. f. Math. u. Phys., B. 12, 1867, S. 326, spricht unter andern den Satz aus, daß die senkrechte Projektion einer Reliefperspektive auf die Bildfläche auch die Perspektive des Gegenstandes aus einem Auge ist, welches mit dem ursprünglichen Auge in einer Senkrechten zur Bildfläche liegt, aber von der letzteren Ebene einen Abstand besitzt, gleich dem des ursprünglichen Auges von der Fluchtebene. Es ist dies sogleich zu erkennen, wenn man beachtet, daß sich die so erhaltenen beiden Fluchtpunkte einer Geraden senkrecht auf einander projiciren. Außer- dem behandelt er die kollineare Verwandtschaft der Flächen zweiter Ordnung mit der Kugel, bezw. mit dem einschaligen Umdrehungs- hyperboloide. B. Staudigl in seinen Grundzügen der Reliefperspec- tive, Wien 1868, hat die für die Technik brauchbaren Regeln dieses Wissenszweiges weiter entwickelt und dabei nützliche Sätze auf- gestellt, wie z. B. den, daß der Grundriß einer Reliefperspektive auch als Perspektive des Gi;^drisses des Gegenstandes auf der Bild- fläche gewonnen werden kann, wenn man das Auge in seiner zur Basis senkrechten Ebene so verschiebt, daß seine Höhe über der Horizontalprojektionsebene gleich dem Abstände der Bild- und Flucht- ebene, und sein Abstand von der Bildebene gleich seinem ursprüng- lichen Abstände von der Fluchtebene wird. (In beiden Bildern fallen
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die Grundlinien in einander und stimmen die Höhe des Horizontes, die Lage des Augenpunktes und die Distanz überein.)
Fiedler in seiner darstellenden Geometrie, Leipzig 1871, stellt die kollineare Raumverwandtschaft in rein geometrischem, wie in technischem Sinne in umfassender Weise dar. Auch Schlesinger be- handelt die Reliefperspektive in seiner darstellenden Geometrie, Wien 1870, und Hertjser entwickelte die Hauptsätze dieser Lehre in öinem Aufsatze über die Central-Raumprojection (Relief-Projection) in der Zeitschrift des Vereines deutscher Zeichenlehrer, Berlin 1875.
Es soll noch erwähnt werden, daß der vorhin genannte Morstadt ein sehr schönes Reliefmodell in Gyps von einer gewölbten Halle veröffentlicht hat, und daß drei ebensolche nach den Konstruktionen des Herrn Burmester von Herrn Lehmann in Dresden ausgeführt und veröffentlicht wurden, welche in vollendeter Weise geometrische Körper, eine Säulenhalle und das Innere einer römischen Basilika wiedergeben. Burmester hat in seinem kurzen und faßlichen, für
Wiener, Lehrbuch der darstcllendon Geometrie. 4
50 I« 46—47. Geschichte der darstellenden Geometrie.
Künstler berechneten Buche „Grundzüge der Reliefperspective, 1883" auch die Art der Herstellung jener Modelle erläutert.
Wenn nun so die geometrischen Regeln zur Herstellung einer Reliefperspektive Tollkommen bestimmt sind, so ist eine volle Eini- gung über den Grad ' ihrer Anwendung in der Kunst noch nicht erreicht. Während Schreiber die Anwendbarkeit derselben auf die Kunst noch dem Urteile der Künstler überläßt, fordert Staudigl unbedingt ihre Anwendung.
Wir werden später die Mängel der Reliefperspektive in Bezug auf den Beleuchtungsgrad von runden Formen, insbesondere der menschlichen Figur erörtern, wonach die von Künstlern hauptsäch- lich bei letzteren Formen geübte Abweichung begründet erscheinen wird, während architektonische ebene Formen den mathematischen Regeln strenger folgen dürften.
47. Eine Beachtung verdient noch das Panorama. Dasselbe ist ein Rundgemälde auf cylindrischer Fläche, welches von einem im Inneren aufgebauten Standplatze aus betrachtet wird, der die Form einer Kuppel oder eines Hügels mit einem Pavillon besitzt, und stets von einem Dache bedeckt ist. Dadurch wird das in der Hohe an- gebrachte künstliche Licht oder die Öffnung für das Tageslicht dem Auge entzogen. Indem der Rand des Daches und die Wölbung der Kuppel oder des Hügels die natürlichen Grenzen des Bildes verdecken, oder indem -der natürliche Boden des Hügels in den gemalten des Bildes übergeht, und die Lichtquelle verdeckt ist, kann die Täuschung eine sehr große, ja bei Ansichten ohne lebende Wesen eine voll- kommene sein. Die ersten Lehren darüber gab ühaMi (1600) (15), während die erste Ausführung von dem schottischen Maler 22. Parlier herrührt, welcher 1787 in Edinburg und 1793 in London Pano- ramen (von 90 Fuß Durchmesser) mit Städteansichten aufstellte, denen er 1799 das ungleich wirkungsvollere der Seeschlacht bei Abukir mit seinen Feuereffekten folgen ließ. Der schon (45) ge- nannte Theatermaler Breysig zeichnete 1792 in Rom eine Rundsicht dieser Stadt auf acht Blättern, entwickelte die Erfordernisse eines Panoramas zur Täuschung, insbesondere die reliefperspektive Ge- staltung des Bodens und seines Anschlusses an das Gemälde in seinen „Skizzen, 1800'', und stellte (1800) in Berlin ein Panorama von Rom her. Gegenwärtig befinden sich Panoramen in vielen der großen Städte.
Diese Darstellungen wurden in der mannigfaltigsten Weise umgeändert. Das Diorama, 1822 von dem Dekorationsmaler und späteren Erfinder der Lichtbilder, Daguerre in Paris, erfunden, 1827 von dem Dekorationsmaler K, Gropius in Berlin vervollkommnet,
I, 47—48. Die Photogrammetrie. 51
und von beiden in Ausführungen vorgeführt, wirkt durch seine wechselnden Beleuchtungen, um diese zu erreichen, ist das Bild auf einem durchsichtigen Gewebe auf beiden Seiten aufgemalt, und er- scheint durch die vordere oder die hintere Beleuchtung in zurück- geworfenem oder durchfallendem Lichte, in ersterem heller, in letzterem dunkler, wobei das Licht noch durch farbige Gläser mannigfach ge- färbt wird, und eignet sich dadurch zur Nachahmung des Wechsels der Tageszeiten oder anderer Vorgänge.
Endlich seien noch die Pleoramen erwähnt, welche beweglich sind und die Küsten an dem in einem Kahne sitzenden Beschauer vorüberfiihren, und welche zuerst (1831) von Langhans und Kopisch in Breslau vorgeführt wurden; und die CyMoramen^ welche Land- schaften, gewöhnlich Flußläufe, vorübergehen lassen.
IS. Die Photogranimetrie.
48. Die Photogrammetrie oder Photometrographie lehrt den Grundriß und die Höhenlagen einer Landschaft oder den Grund- und Aufriß eines Gebäudes aus den photographischen Bildern des Gegenstandes, welche aus wenigstens zwei verschiedenen Stand- punkten aufgenommen sind, ermitteln. £s geschieht dies nach dem Satze, daß zwei Projektionen eines Gegenstandes denselben be- stimmen; hier insbesondere schneiden sich der ßtrahl, welcher das eine Bild eines Punktes des Gegenstandes mit dem optischen Mittel- punkte der Linse des zu diesem Bilde gehörigen photographischen Apparates verbindet, mit dem entsprechenden Strahle des andern Bildes desselben Punktes in diesem Punkte. Gibt man den Bildern durch parallele verhältnismäßige Verschiebung eine kleinere gegen- seitige Entfernung als die ursprüngliche, so bilden jene Schnittpunkte ein mit dem wirklichen Gegenstande ähnliches aber verkleinertes Gebilde.
Dieser Gedanke wurde schon vor Erfindung der Photographie 1835 von BeautempS'Beaupre ausgesprochen, indem er Handrisse als Abbildungen verwenden wollte. Brauchbare Ergebnisse erzielte zuerst 1851 Herr Laiissedat, damals Kapitän, dann Professor der Geodäsie an der polytechn. Schule, jetzt Direktor des conservatoire des arts et m^tiers in Paris, indem er die camera clara benutzte, die er aber später durch die Photographie ersetzte.^) Da ein solches Bild ein Gesichtsfeld von 60® besaß, konnten sechs aneinander gereihte Pho- tographien das ganze Sehfeld umfassen. Laussedat projicirte auf die Horizontallinie jedes Bildes die wichtigen Bildpunkte, legte die Horizonte der sechs Bilder zu einem regelmäßigen Sechsecke zu-
♦) Siehe u, a. Comptes rendus (1860), B. 60, S. 1127.
52 h ^^- Geschichte der darstellenden Geometrie.
sammen, aus dessen Mitte dann die Sehstrahlen durch jene Projek- tionen gezogen wurden. Ein solches Strahlenbüschel wird in jedem Standpunkte gebildet; und die entsprechenden Strahlen (wenigstens zwei) schneiden sich dann* im Grundrisse eines topographischen Punktes y während seine Höhe aus der Hohe des Bildpunktes über der Horizontlinie ermittelt wird.
In Deutschland kam Herr Baumeister Meydenbauer unabhängig von seinen Vorgängern und veranlaßt durch die Schwierigkeiten, welche er bei der Aufnahme mittelalterlicher Bauwerke fand, auf denselben Gedanken , und konnte 1865 Ergebnisproben seines Ver- fahrens aufweisen.*) Er benutzte dabei die in jenem* Jahre einge- führten Weitwinkellinsen (Steinheils Periskop und Buschs Pantoskop), welche noch bis zu einem Bildwinkel von 90^ perspektiv richtig zeichnen. Er bildete ferner auf der Photographie den Horizont und die vertikale Mittellinie vermittelst feiner Drähte ab, die er vor der Platte aufspannte, und fügte dem Bilde der Gebäude einen Maßstab bei, indem er eine Meßlatte an einer Hauskante aufstellte. Er kon- struirte dann bei Gebäuden schon aus einem einzigen Bilde mit Hilfe der Kenntnis der Gebäudeformen nach den von Lambert (freie Perspektive, 1759) gegebenen Verfahrungsweisen die wahre Gestalt der sichtbaren Teile; bei Terrainaufnahmen wandte er das oben ange- gebene Schnittverfahren an. Auf dieselbe Weise hat Herr Professor TT. Jordan**) die Oasenstadt Gassr-Dachel in der libyschen Wüste aufgenommen, und das Verfahren dadurch weiter gebildet, daß er die Festlegung der vertikal gestellten Fläche des photographischen Bildes gegen den Projektipnsmittelpunkt (der Linse) und gegen die Nordrichtung auf Grund der Theodolitmessung von fünf Winkeln (dreier Azimuthe und zweier Höhenwinkel) durch Rechnung mit größerer Sicherheit festlegte, und mathematische Untersuchungen über den mit der Bildstelle yrechselnden Maßstab der Photographie anstellte.
Herr G, Hauck***) hat die geometrische Theorie der Photogram- raetrie dadurch weiter geführt, daß er ein einfaches Verfahren an- gab, aus zwei Projektionen eines Baumgebildes irgend eine dritte herzuleiten. Es geschieht dies auf Grundlage eines Satzes, den wir folgendermaßen aussprechen wollen: „Sind P^ und Pjj zwei Projek- tionsebenen, welche sich in dem Grundschnitte g treffen, und auf welche bezw. aus den Projektionsmittelpunkten Oj und Og projicirt
*) Zeitschrift för Bauwesen (v. Erbkam) 1867, 17. Jahrg., S. 62. **) Zeitschrift f. Vermeßs angewesen, 1876, 13. 6, S. 1. ***) G. Hauch, neue Constrnctionen der Perspective nnd Photogrammetrie. (I. Artikel.) Joarn. f. reine u. angcw. Math., 1884, B. 9ö, S. 1.
I, 48—49. Die Schatten- nnd Belenchtong^alehre. 53
wird, schneidet die Gerade Oj Oj die P^ und Pg bezw. in den Punkten Og' und 0/', den sogen. Kernpunkten; und sind P', P" die beiden Abbildungen irgend eines Punktes P, so schneiden sich die Geraden O^ P' und 0" P" auf ^f*'. Mittelst dieses Satzes kann in gleicher Weise aus zwei senkrechten Projektionen (Grund- und Aufriß) die Perspektive, als aus zwei Perspektiven der Grund- und Aufriß kon- struirt werden. Auch hat Herr Hauck auf Grund des Satzes ein Gestänge konstruirt, welches mechanisch jene Aufgaben löst, indem ein Zeichenstift die dritte Projektion zeichnet, wenn zwei Fahrstifte gleichzeitig durch die entsprechenden Punkte zweier vorliegenden Projektionen geführt werden.
Es sei noch der Perspektograph des Herrn Architekten G. Ritter in Frankfurt a. M. erwähnt, dessen Beschreibung und photographische Abbildung er in diesen Tagen (April 1884) versendet hat. Der Apparat liefert mechanisch aus Grundriß und Höhenmaßen oder aus Aufriß und Tiefenmaßen eines Gebäudes seine Perspektive, oder auch umgekehrt, jedoch weniger zweckmäßig, aus der Perspektive einen Grund- oder Aufriß der sichtbaren Teile. Indem der Apparat bei unveränderter Einstellung nur eine ebene Figur abbildet, werden verschiedene parallele, etwa horizontale Schichten der Reihe nach gezeichnet, und dann die Zwischenräume aus der Hand ausgefüllt. Ein drehbares Lineal verkörpert, wenn z. B. der Grundriß benutzt wird, den Grundriß des beweglichen Sehstrahls, ein zweites bestimmt den Abstand der Abbildung von der Bildspur der Ebene der abzubil- denden Figur. Ein Gestänge „der Froschschenkel" überträgt die Bewegung auf den Zeichenstift. Die beigelegten Zeichenproben lassen auf eine gute Leistungsfähigkeit schließen.
Sowohl der französische als der deutsche Generalstab haben der Photogrammetrie ihre Aufmerksamkeit zugewendet, da sie als leichtes und rasch förderndes Aufnahmeverfahren eine mannigfache Verwendung zuläßt.
X. Die Schatten- und Beleuohtnngslehre.
49. Die BeUuchtungslehref gestützt auf geometrische Konstruk- tionen, entwickelte sich gleichzeitig mit der wissenschaftlichen Per- spektive, lange Zeit aber fast nur als Schattenlehre, Die erste schon erwähnte Schrift über Perspektive, „de pictura" von Leon Battista Alberti (geschrieben vor 1446), weist in Bezug auf die Schatten- bestimmung auf die Natur hin, enthält aber schon eine Andeutung der Linien gleicher Helligkeit, indem Alberti zur Erreichung der all- mählichen Lichtabstufung vorschreibt, verschiedene Töne, jeden an die Grenze des vorhergehenden, also in Schichten gleichmäßiger
54 If ^9- Geschichte der darstellenden Geometrie.
Starke, an einander zu reihen. Albrecht Dürer in seiner erwähnten „Underweysung*' (1525) konstruirt die Perspektive des Würfels und seines Schattens, Von da an lehren die Werke über Perspektive auch die Konstruktion der durch Sonnen- oder durch irdisches Licht erzeugten Schatten , aber fast nur von ebenflächigen Körpern und etwa noch von Cylindern. Monge loste, wie schon angedeutet, die Aufgabe für krumme Flächen vermittelst des aus dem leuchten- den Punkte umschriebenen Kegels oder Cylinders, dessen Berührungs- linie die Eigenschattengrenze, und dessen Schnitt mit der beschatteten Fläche die Schlagschattengrenze ergab; er bezeichnete die Voll- und Halbschattengrenze auf einer krummen Fläche, welche durch eine ausgedehnte leuchtende Fläche hervorgebracht wird, als die Be- rührungskurve mit einer abwickelbaren Fläche, die durch eine be- rührend auf beiden Flächen hinrollende Ebene eingehüllt wird, und er konstruirte den auch schon früher erwähnten Glanzpunkt spie- gelnder Flächen. Die Konstruktion der Tangente der Eigenschatten- grenze ist durch den Satz von Dupin (developpements de geometrie, 1813) gegeben, wonach sie und der Lichtstrahl konjugirte Durch- messer der Indikatrix der Fläche im betrachteten Punkte sind. Hachette in seinem trait^ de geometrie descriptive (1822) gibt eine Anwendung auf Schattenlehre und bestimmt, wie schon erwähnt, die in den konvex-konkaven Flächen auftretenden Grenzpunkte, in denen der Lichtstrahl die Eigenschattengrenze berührt, und deren Schatten eine Spitze der Schlagschattengrenze bildet. Hachette*) konstruirt auch die Eigenschattengrenze an der Schraube mit dreieckigem Ge- winde, mittelst eines anschließenden hyperbolischen Paraboloides. Eine einfache Bestimm ungs weise der Projektion der Eigenschatten- grenze derselben windschiefen Schraubenfläche auf eine zur Schrau- benaxe senkrechte Ebene vermittelst des einen Doppelpunktes dieser Kurve fanden Poncelet und Guillebon 1809, und Poncelet fügte die Konstruktion ihrer Tangente hinzu.**)
De la Goumerie bestimmte die Eigenschattengrenze der allge- meinen windschiefen Schraubenflächen bei endlichem Abstände der Lichtquelle auf analytischem Wege in ausgedehnter Untersachung und mit graphischer Darstellung (Journ. de Tecole polyt, B. 20, 1851, S. 1.)
Die Bestimmung der Schattengrenzpunkte auf Linien einer Fläche, längs deren sie von einer leichter zu behandelnden Hilfs-
*) Correspondance de TiJcole polyt. Pa"» 1^09, B. 2, S. 13. **) Olivier, applications de G^om. Aescx.^ Paria 1847, S. 96, sowie Pon-
celet, applic. de Tanalyse, Paris IStt^) % S. 447.
I, 49 — 51. Die Schatten- und Beleuchtungslebre. 55
fläche berührt werden kann, gab Bordoni in einer analytisch ge- führten Abhandlung ^^sopra le linee uniformemente illuminate (Gior- nale di fisica etc., Pavia 1823) und wendete sie auf eine Bing fläche durch die eingehüllte Kugel an. Dunesme bemerkte, daß die Projektion dieser Eigenschattengrenze auf eine zur Umdrehungsaxe senkrechte Ebene als eine verallgemeinerte Conchoide aufgefaßt werden kann (Comptes rendus, 1857, B. 45, S. 527) und zeigte, daß die Schlag- schattengrenze auf dieselbe Ebene die Aquidistante einer Ellipse ist, oder allgemeiner, daß für irgend einen leuchtenden Punkt die Schlag- schattengrenze jeder ümdrehungsfläche auf eine zu ihrer Axe senk- rechte Ebene zur Evolute die Einhüllende des Schattens des Konoides hat, dessen Erzeugende die von den Punkten der Eigenschatten- grenze auf die Axe geß.llten Senkrechten sind (Comptes rendus, 1854, B. 38, S. 953). Ahnliche Sätze stellte Burmester über die Schraubenflächen auf (Schlömilchs Zeitschr. f Math. u. Phys., 1873, B. 18, S. 188), indem er nachwies, daß bei Parallelbeleuchtung die Eigenschattengrenze durch diejenigen Punkte ihrer Normalkurven (deren Ebenen auf der Schraubenaxe senkrecht stehen) gebildet wird, in welchen die Normalen dieser Kurve die Ausgangsaxe, d. i. eine gewisse Parallele zur Schraubenaxe, schneiden; und daß' der Schlagschatten der Fläche auf eine zur Axe senkrechte Ebene zur Evolute die Einhüllende des durch jene Normalen gebildeten Ko- noides hat.
50. Für die Beleuchtungslehre, welche die dem Auge ersicht- liche Helligkeit zu bestimmen und nachzuahmen lehrt, wurden physikalische Grundlagen von Lambert in seiner photometria, sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae, Augustae Vin- deUcorum (Augsburg) 1760, und von Bouguer in seinem essai d'op- tique, Paris 1729, und seinem traite d'optique sur la gradation de la lumiere, ouvrage pothume, publik par de la Caille, Paris 1760, (lateinische Übersetzung Bougueri optice etc., Viennae 1762) ge- geben, von ersterem in vorherrschend theoretischer, von letzterem in vorherrschend beobachtender Weise. Auch Zöllner in seinen „photo- metrischen Untersuchungen'^, 1865, hat manche für unsere Zwecke brauchbare Ergebnisse geliefert. Von diesen Grundlagen ist bisher nur der für eine erste Annäherung wichtigste Satz, der Cosinussatz von Lambert, benutzt worden ; es soll aber später eine ausgedehntere Anwendung jener Ergebnisse gemacht werden.
51. Über die Helligkeit einer durch parallele Lichtstrahlen be- leuchteten matten Körperoberfläche an einer Stelle sind drei An- schauungen geltend gemacht worden. Bezeichnen £ und a den Ein- und Ausfallwinkel des Lichtstrahls, d. h. den Winkel des einfallenden
56 Ii 51—52. Geschichte der darstellenden Geometrie.
und des ausfallenden Lichtstrahles (des Sehstrahles) mit der Flächen- normalen im betrachteten Punkte ^ so wird die Helligkeit in Ver- hältnis gesetzt 1) mit cos s^ d. i. der Beleuchtungsstärke, 2) mit dem Produkte cos b cos a, 3) mit dem Quotienten cos s : cos a. Außerdem wird öfters noch eine Verstärkung der Helligkeit halb spiegelnder oder selbst matter Flächen in dem sogen. Glanzpunkte berücksichtigt. Die erstere jener Anschauungen verbunden mit dieser letzteren Abänderung werden wir später als im allgemeinen am meisten mit der Wirklichkeit in Übereinstimmung finden. Nach der ersteren Anschauung sind auf einer krummen Fläche die Linien gleicher Helligkeit auch die Linien gleicher Beleuchtungsstärke, oder die Lichtgleichen , Isophoten, d. i. die Linien, für deren Punkte 6 unveränderlich ist; nach der zweiten Anschauung sind die Linien gleicher Helligkeit oder die HeUegleicheny Isophengen, die Linien, für welche cos £ cos a unveränderlich ist. Die dritte Anschauung wurde von Brisson vorgebracht, und da sie keine Annahme gefunden hat, sei nur erwähnt, daß Brisson in der von ihm veranstalteten fünften Ausgabe von Monges geometrie descrip- tive (1827) einen Vortrag von Monge zum erstenmal veröffentlicht, wouach die Menge der auffallenden Lichtstrahlen mit cos £ propor- tional ist, worauf Brisson seine eigene Meinung zufügt, nach welcher das Element einer rauhen Oberfläche nach allen Seiten gleichviel Licht zurückstrahle, aber eine mit cos a umgekehrt proportionale scheinbare Größe besitze, so daß seine Helligkeit «= cos £ : cos a sei, also am Umrisse am größten werde, was der Mond bestätige. Bouguer tmd Zöllner erklären dagegen die letztere Erscheinung durch die Unebenheiten der Mondoberfläche. Nach der Annahme des Helligkeitsmaßes cos £ cos a dagegen müßte ein matter Körper am Umrisse stets dunkel erscheinen. Nach Versuchen des Verfassers, die im zweiten Bande mitgeteilt werden sollen, ist die Helligkeit am Umrisse auf der Seite, welche dem Glanzpunkte gegenüber liegt, etwas kleiner, als cos £ verlangt, auf der Seite des Glanzpunktes bei kleinem £ ebenfalls kleiner, bei großem £ dagegen größer, als cos e verlangt.
62. Die früheste Arbeit über Lichtgleichen beruht auf der zweiten Anschauung (cos £ cos ce); sie löst die Aufgabe analytisch für die Kugel und gibt eine Zeichnung der Linien. Diese Arbeit ist das memoire sur la determination geometrique des teintes dans les dessins in dem Journ. de Tecole polytechnique, cah. L, Paris, an ni (1797), und ist von einigen damaligen Sdiülem Monges ver- faßt und von JDupiiis redigirt. Dieselbe Anschauung vertritt Leroy in seinem traite de Stereometrie (1844), stellt aber nur für die Ku,gel
I, 62 — 53. Die Schatten- und Beleuchtungslehre. 57
die Gleichungen der Lichtgleichen auf. Fast alle übrigen Arbeiten beruhen auf der ersteren Anschauung (cos e). Die nächste solche ist die vorhin erwähnte von Bordoni (Pavia 1823), worin die Licht- gleichen der Kugel und der Ringfläche analytisch bestimmt werden. Vermutlich dieser Arbeit entnommen ist die Konstruktion der Licht- gleichen der Kugel und RingflächC; die letzteren in einfachster Weise aus denen der eingehüllten Kugel abgeleitet, in J. Honigs darstellen- der Geometrie, Wien 1845, ohne daß jedoch zwischen den verschie- denen Lichtgleichen eine gleichförmige Abstufung hergestellt wäre. Die erste etwas allgemeinere Arbeit ist die von J, Egle „über das Schattiren der Oberflächen regelmäßiger Körper^', Festschrift der polytechnischen Schule in Stuttgart 1855. Es werden darin die Linien gleicher Helle mit gleichförmiger Abstufung (sechs Stufen) für die Kugel konstruirt und von ihr auf andere Flächen, insbesondere auf Umdrehungs- und Schraubenflächen durch Punkte mit parallelen Berührungsebenen in einfacher Weise übertragen. Unter Annahme eines atmosphärischen, dem Sonneostrahle gerade entgegengesetzten Strahles werden die Linien gleicher Helle auch auf die im Eigen- schatten befindlichen Teile in derselben Abstufung (—6) fortgesetzt und die Dunkelheit einer im Schlagschatten befindlichen Fläche um so größer angenommen, je größer ihre Helligkeit im Falle ihrer Beleuchtung wäre.
CoJwn Stuart bestimmte analytisch die Lichtgleichen eines El- lipsoids, welches von einem in endlichem Abstände liegenden Punkte beleuchtet wird, wobei er die Intensität der Beleuchtung eines Punktes =s= Q cos € : u' setzte, wenn u sein Abstand von der Lichtquelle ist (Solution d'un probleme de Photometrie, Journ. de math. p. Liouville, 1848, B. 13, S. 257.)
Breton setzte mehrere Büschel paralleler Lichtstrahlen, ebenso wie Kräfte, nach dem Satz des Parallelogramms zusammen (Distru- bution de la lumiere sur une surface eclairee par plusieurs faisceaux de lumiere parallele, J. d. math. p. Liouville, 1852, B. 17.)
Kammerer gab in den Sitzungsberichten der Akademie der Wissenschaften in Wien, 1862, (B. 46, Abt 2, S. 405) eine Arbeit in etwas größerer Allgemeinheit wie Egle, worin er insbesondere auch die Lichtgleichen von Flächen zweiten Grades in sehr ein- facher Weise aus den vorher zu konstruirenden Lichtgleichen von Umdrehungsflächen zweiten Grades ableitet, welche zwei Axen mit jeuer Fläche gemein haben.
53. In demselben Jahre erschien das erste umfassende Werk über unseren Gegenstand, die Lehre der geometrischen Beleuchtungscon- structionen von Franz TilscJier, Wien 1862, worin im wesentlichen
58 h ^^' (beschichte der darstellenden Geometrie.
dieselben physikalischen Grundlagen wie von Egle angenommen wer- den, nur daß noch bei ebenen Flächen Modifikationslinien parallel mit der Projektionsebene hinzukommen, nach welchen eine Licht- abstufung wegen des wechselnden Abstandes. vom Auge erfolgt. Dieser Umstand kann durch die unvollständige Durchsichtigkeit der Luft bedingt, aber bei Klarheit derselben erst bei Abstandsunter- schieden von Hunderten von Metern merklich werden, nicht aber bei Körpern von gewöhnlichen Maßen. Tilscher gibt jene Modifi- kationen bei krummen Flächen selbst auf, freilich nur wegen zu großer Verwickelung. Aus jenen Grundsätzen werden dann allge- meine brauchbare Regeln zur geometrischen Konstruktion der Be- leuchtungsintensität ebener und der Intensitätslinien krummer Flächen abgeleitet und bei den Hauptfamilien derselben durchgeführt, näm- lich bei den allgemeinen Cylindern, Kegeln, abwickelbaren Schrauben- flächen, bei windschiefen, insbesondere Schraubenflächen, bei Um- drehungs-, Umhüllungsflächen (gewundene Säule, Ellipsoid, Röhren- fläche).
Koutny in seiner „Theorie der Beleuchtung krummer Flächen vom zweiten Grade bei parallelen Lichtstrahlen (Brunn 1867)" gibt eine analytische Entwickelung, worin er zeigt, daß diese Licht- gleichen aus dem Mittelpunkte der Fläche durch Kegel zweiter Ord- nung projicirt werden. Ein Beispiel wird aus berechneten Zahlen verzeichnet. — Niemtschik in seiner Abhandlung „direkte Beleuch- tungsconstructionen für Flächen, deren zu einer Axe senkrechte Schnitte ähnliche Ellipsen sind" (Sitzungsber. d. k. Akad. d. Wiss. in Wien, B. 67, Abt. 2, 1868) legt Kegel von gleichmäßiger Hellig- keit zu Grunde, deren (gemeinschaftliche) Umdrehungsaxe also ein Lichtstrahl ist, und bestimmt dann Punkte einer Linie von gege* bener Helligkeit auf der Fläche als Berührungspunkte mit Ebenen, welche mit Berührungsebenen des Kegels von der übereinstimmen- den Helligkeit parallel sind.
Fiedler in seiner „darstellenden Geometrie" (Leipzig 1871) gibt einfache Konstruktionen der Intensitätslinien auf den Umdrehungs- flächen.
Das umfassendste Werk über unseren Gegenstand ist da.8 von Burmester. Nachdem derselbe Abhandlungen über die IsopJu>ten (Göttingen 1865 und Zeitschr. f. Math. u. Phys. 1868 u. 1869) ver- öffentlicht hatte, erschien von ihm das schöne Werk „Theorie und Darstellung der Beleuchtung gesetzmässig gestalteter Flächen^^ (Leipzig 1871), worin er analytisch die Gleichungen sowohl der Isophoten (Linien gleicher wahrer Beleuchtungsintensität, cos e «== const), als der Isophengen (Linien gleicher scheinbarer Beleuchtungs-
I, 53-54. Oberblick über die geschieh tliche Entwickelung etc. 59
Intensität oder gleicher Helle^ cos b cos a =^ const.) der hauptsäch- lichsten Flächenfamilien entwickelt^ aus ihnen ihre wichtigsten Eigenschaften und sehr einfache, oft auf projektive Geometrie ge- stützte Konstruktionen ableitet und die Ergebnisse in durchsichtigen Figuren darstellt. Es werden die Cjlinder, Kegel, Rotations-, Schrau- ben-, Konoidflächen, die Flächen zweiten Grades, abwickelbare, Rohren- und windschiefe Flächen behandelt.
Das neueste Werk ist das von Tessari „la teoria delle ombre e del chiaro-scuro", Torino 1878 — 1880, worin zuerst die Eigen- und Schlagschattengrenzen und dann die Beleuchtungsstärke fiir Polyeder und die Linien gleicher Beleuchtung für die hauptsäch- lichsten Flächenfamilien bestimmt wenden. Die Helligkeit wird mit cos £ proportional gesetzt und die Behandlung der Schatten stimmt im Wesentlichen mit der von Egle überein. Die Begründungen sind in klarer Weise rein geometrisch geführt, die Konstruktionen er- reichen aber nicht immer die Einfachheit derjenigen von Bur- mester.
XL Überbliok über die gesoliiohtliohe Entwiokelimg tmd die wiflBensohaftliohe Aufgabe der darstellenden Geometrie.
54. Suchen wir noch einen Überblick über die Geschichte der darstellenden Geometrie zu gewinnen. Wir fanden, daß das Grund- und Aufrißverfahren aus den Bedürfnissen der Baukunst entsprungen ist und so alt sein muß, als das Aufführen verwickelter Bauten aus behauenen Steinen; daß die Perspektive aus den Bedürfnissen der Malerei hervorging und zwar in ihren Anfangen aus der Theater- malerei zur Zeit des Aschylus (500 v. Chr.), daß insbesondere die aufgegrabenen römischen Wandmalereien die Kenntnis des Flucht- punktes und die Beachtung der Verkürzungen nachweisen; und daß endlich die stereographische Projektion zu dem wissenschaftlichen Zwecke der Herstellung von Stern- und Landkarten von Hipparch (gegen 140 v. Chr.) erfunden wurde.
Die Perspektive wurde im Mittelalter verloren und durch schiefe Parallelprojektion ersetzt, dann aber zur Zeit der Renaissance im 15. Jahrhundert zugleich in Italien und in den Niederlanden und Deutsch- land wiedergefunden, dort zuerst von Brunelleschi und Donatello, hier von van Eyck, und sodann dort von Leon Battista Alberti (vor 1446) und von Piero della Francesca (vor 1494), hier von Albrecht Dürer (1525) in Schriftwerken entwickelt In mathematischem Geiste wurde sie dann behandelt von Desargues (1636) durch Anwendung von Perspektiven Koordinaten, von Taylor (1719), Zanotti (1745 und 1766) und von Lambert als freie Perspektive
60 If 54—56. GescbicUte der darstellenden Geometrie.
(1759); und in diesem Jahrhundert ist ihre Anschauung die Grund- kge für die von Poncelet (1822), Möbius (1827), Steiner (1832) und V. Staudt (1847) begründete und von Chasles (1852) u. a, weiter geführte projektive Geometrie geworden, welche dann wieder ihrerseits aufs fruchtbarste auf die ganze darstellende Geometrie zurückwirkte.
Das Grund' und Aufrißverfahren entwickelte sich im Mittel- alter an den stets schwieriger werdenden Aufgaben des Steinschnittes bei dem Gewölbebau und wurde zuerst von Frfeier (1738), getrennt von den technischen Anwendungen, als konstruktive Geometrie des Raumes behandelt. Durch Sammlung, wesentliche Bereicherung und Vertiefung des Stoffes, sowie durch systematische Anordnung und Begründung schuf dann Monge die Wissenschaft der darstellenden Geometrie und veröflFentlichte seine Vorlesungen gleichzeitig mit der Gründung der polytechnischen Schule in Paris im Jahre 1795. Aus technischen . Bedürfnissen hervorgegangen, war diese Wissenschaft und ist im wesentlichen noch heute den technischen Hochschulen eigentümlich, sie wurde fast ausschließlich an ihnen unterrichtet und durch ihre Professoren entwickelt.
Nach Frankreich trat Deutschland^ seitdem solche Schulen in ihm gegründet worden waren, in das Gebiet dieser Arbeit ein, und zwar zuerst durch Weinbrenner (1810) und Schreiber (1828), beide in Karlsruhe. Italien folgte erst später nach und England, das noch keine technische Hochschule besitzt, hat sich auch an der Mit- arbeit noch nicht beteiligt. Das hervorragendste italienische Werk über unser Fach ist die darstellende Geometrie von Bella vitis (1851), welcher aber nicht an einer polytechnischen Schule, sondern an der Universität Padua als Professor dieser Wissenschaft wirkte.
66. Während Frankreich hauptsächlich die Theorie der Flächen und ihrer Krümmung durch Hachette, Olivier, de la Goumerie u. a. bedeutend forderte, und auch neuerdings durch Mannheim die Kine- matik in das Gebiet der darstellenden Geometrie hereinzog, verflocht Deutschland durch Schreiber, Pohlke, Schlesinger und besonders durch Fiedler die projektive mit der darstellenden Geometrie und wertete sie aufs ausgiebigste aus. Es wur<^e darin durch den Italiener Bella- vitis nachdrücklich unterstützt Ferner entwickelte Franhreid^ die Schattenlehre durch die soeben genannten Männer und durch Pon- celet, und that in der Beleuchtungslehre durch Monge und durch Zuhörer desselben einen ersten Schritt; Deutschland aber bildete diesen Zweig durch Lambert^ Egle, Tilscher (in Prag) und besonders Burmester in hohem Grade aus; und auch Italien war auf diesem Gebiete durch Bordoni und Tessari thätig. Ferner hat vorwiegend
I, 55—66. Überblick über die geschiclitliche Entwickelang etc. 61
Deutschland die Axonometrie und die schiefe Projektion durch Lam- bert, MöUinger (Schweiz), Weisbach, Pohlke u. a., sowie die Relief- perspektive, worin dft Italiener Ghiberti die erste große künstlerische Leistung lieferte, durch Brejsig, Anger, Staudigl u. a. entwickelt, während Frankreich in diesem Gebiete durch Poncelet und Poudra thätig war. In Österreich, wo die ersten deutschen polytechnischen Schulen in Prag (1801) und Wien (1815) gegründet wurden, erfuhr die darstellende Geometrie eine große Verbreitung und durch Männer wie Honig, Tilscher, Niemtschik, Staudigl und viele andere eine for- derliche Pflege.
56. Indem nun die darstellende Geometrie mehr und mehr ihren selbständigen wissenschaftlichen Aufbau vollendet, wird ihr auch mehr und mehr die Lösung der Aufgabe zufallen, zu der sie vor allen die Befähigung besitzt, das Raumanschauungsvermögen zu ent- wickeln und den Grund für das Studium der höheren Geometrie zu legen. Diese Beföhigung besitzt sie durch die Anschaulichkeit, welche der Zeichnung und dem Modelle eigen ist; durch diese Mittel verschafft sie dem Studirenden eine so klare Anschauung, daß er auch für die Ausführungen in Gedanken die notwendige Sicherheit gewinnt. Es erscheint daher ebenso als geboten, die Anfangsgründe der darstellenden Geometrie in den Gymnasien einzuführen und dadurch dem Unterrichte in der Stereometrie den Erfolg zu gewähren, den er. bisher entbehrte, als die höheren Teile unserer Wissenschaft auf allen Universitäten zu lehren, wie es bisher nur auf wenigen geschah.
IL Abschnitt.
Punkt; Gerade nnd Ebene in senkrechter Projektion anf zwei zu
einander senkrechte Projektionsebenen.
I. Darstelliing des Punktes.
67. Nach Nr. 3 erhält man die senkrechte Projektion P' eines Punktes P auf eine Projektionsebene P als Fußpunkt der von P auf P gefällten Senkrechten;*) die Senkrechte heißt der projicirende StraJU oder die Projicirende. Wir werden unter „Projektion" die senkrechte verstehen, wenn nicht das Gegenteil ausdrücklich bemerkt ist. Es ergibt sich daraus:
Ist die Projektionsebene gegeben, so gehört jedem Punkte P nur eine Projektion P' an, dagegen kann ein Punkt P' in P die Projektion jedes Punktes sein, der in dem durch P' gehenden pro- jicirenden Strahle liegt.
Weil nun die Lage eines Punktes im Räume durch eine Pro- jektion desselben noch nicht bestimmt ist, so wendet man, um sie zu bestimmen, verschiedene Mittel an. 1) Man schreibt jeder senk- rechten Projektion die Länge der Projicirenden oder der Höhe, als Höhenzahl oder Kote bei und gelangt zu den bezififerten oder kotirten Projektionen, die bei topographischen Karten angewendet werden. Ein Punkt ist dann durch seine Projektion und seine Kote bestim'mt. 2) Man bildet noch eine zweite andersartige Projektion des Gegen- standes auf dieselbe Ebene, also eine schiefe Parallelprojektion oder eine Centralprojektion, die auch als Schatten des Gegenstandes dar- gestellt werden kann. 3) Man wählt zwei nicht untereinander pa- rallele Projektionsebenen, projicirt den Punkt auf jede dieser Ebenen, so ist er durch seine zwei Projektionen bestimmt. Weil nur eine Zeichenfläche benutzt werden soll, legt man dann die eine Projek- tionsebene in die andere um. Dieses Verfahren ist das gewöhnlich angewendete. 4) Man wählt zwei parallele Spur- und Projektions-
*) Es sollen stets Punkte durch große lateinische, Flächen durch fette große lateinische, Linien durch kleine lateinische, Winkel durch kleine griechische ßnchstaben bezeichnet werden.
II, 67 — 68. Darsiellang des Panktes.
63
ebenen, schneidet mit ihnen eine abzubildende Gerade^ projicirt diese Schnittpunkte oder Spuren auf eine der beiden Ebenen, so ist durch diese Projektionen und den Abstand der Ebenen die Lage der Gre- raden bestimmt. Diese Darstellungsweise wird sich für Aufgaben über Ebenen und Flächen, die durch gerade Linien gebildet werden, zweckmäßig erweisen. 5) Man bestimmt nach dem cyMoffraphischcn VerfaJiren des Herrn Fiedler^) (35) einen Punkt P durch seine senk- rechte Projektion P' und einen Kreis, der in der Projektionsebene um P' mit dem Halbmesser F' F gezogen wird; und eine Linie durch die Einhüllende der Kreisprojektionen ihrer Punkte; beides in zweideutiger Weise. Eine solche Abbildung unterscheidet sich von den anderen dadurch, daß sie auf das Auge nicht einen ähn- lichen Eindruck macht, wie der Gegenstand selbst.
58. Indem wir zunächst und meist das dritte Verfahren in seiner Form als Grund- und Äufrißverfahren anwenden, bezeichnen wir die beiden Projektionsebenen mit P^ und P^, und die Projek- tionen eines Punktes P auf jede derselben mit P' bezw. P"; diese Punkte bestimmen zwei Projicirende, deren Schnitt den Punkt P angibt. Damit die Projicirenden nicht ineinander fallen, dürfen die Projektionsebenen nicht parallel zu einander gewählt werden; man stellt sie gewohnlich senkrecht auf einander und meist die eine horizon- tal, die andere vertikal. Man gebraucht. dann die Benennungen: erste oder HorizontcUprojektionsebene, auch Horieontalehenef erste Tafely Grund- rißebene, P^; und zweite oder Vertikalprojektionsd)ene, auch Vertikalebene, gweite Tafel, Aufrißebene, P^; sodann erste oder horizontal-Prqjicirendc (JL P,); zweite oder verttkcU-Projicirende (J_ Pg); erste oder Horizontal- Projektion^ Grundriß, P' (auf Pj); zweite oder Vertikalprojektion, Aufriß, P" (auf Pg). Die Schnittlinie x beider Pro- Fig. i.
jektionsebenen heißt die Prcjektionsaxe oder Axe, Grundlinie oder Grundschnitt.
In Fig. 1 sind begrenzte Teile der sonst unbegrenzt zu denkenden Projek- tionsebenen P^ und P2 und der Axe x dargestellt; von dem Punkte P im Räume sind PP' die erste, PP" die zweite Pro- jicirende, P' die erste, P" die zweite Pro- jektion. Man lege durch beide Projicirende eine Ebene P' P P'\ welche daher senkrecht auf beiden Projektionsebenen und auf der
Fi«.
*) W. Fiedler, ein neuer Weg zur Theorie der Kegelschnitte (Vereinsechr. d. naturf. Ges. in Zürich, B. 25, 1880); zur Geschichte und Theorie der elemen- taren Abbildnngsmethoden (das. B. 27, 1882); Cyklographie oder Constmction der Aufgaben über Kreise und Kugeln, 1882.
64 n, 68—59. Punkt, Gorade und Ebene in senkrechter Projektion etc.
Axe X steht und diese Ebenen in Geraden P' P®, P" P^ schneidet^ welche J_ x sind, und in dem einen der Axe und der Ebene P PF" gemeinsamen Punkte P^ zusammentreffen. Daraus und aus der recht- winkligen Gestalt des Vierecks FF' P® P" folgt:
1) die beiden von den Projektionen eines Punktes auf die Axe gefällten Senkrechten treffen sich auf dieser;
2) der Abstand eines Punktes von P^ oder sein erster Abstand ist gleich dem Abstände seiner zweiten Projektion von x, d. i. PP^F^ P' •,
3) ebenso ist der stweite Abstand P" P = P^ F\
Man denkt nach der ursprünglichen Anschauung der Projektion das Auge auf einer bestimmten Seite der Projektionsebene, und zwar über Pi, bezw. vor Pg, und nennt die Abstände positiv oder negativ, je nachdem sie von ihrem Fußpunkte an sich gegen das Auge hin oder von ihm weg erstrecken, also positiv nach oben, bezw. vorn, negativ nach unten, bezw. hinten. Entsprechend nennt man auch den durch x begrenzten vorderen und oberen Teil von P^ und P^ positiv (+ Pi, + Pg); den hinteren und unteren negativ ( — Pj,
59. Durch die Projektion auf zwei Ebenen ist nun der Zweck der Bestimmung jedes Punktes eines Raumgebildes, also des ganzen Gebildes erreicht; um aber die Zeichnung, welche sich dabei auf zwei Ebenen verteilt, auf eine einzige zu beschränken, legt man die eine Frqjektionsd)ene in die andere um, d. h. man dreht sie so lange um die Durchschnittslinie x beider, bis sie mit der anderen zu- sammenfällt. Man dreht entweder Pg in P^ oder P^ in P^, aber übereinkunftsmäßig immer so, daß + Pg deckend auf — Pj und + Pi auf — Pg zu liegen kommt» Dabei gelangen F^P' und P^p' in eine einzige zu x senkrechte Gerade, so daß gilt:
JHe Projektionen eines Punktes auf gwei. Ebenen befinden sich na>ch dercft Umlegung in einander in einer zur Axe senkrechten Geraden,
Fig. 2.
Fig. 2.
der sogen. Ordinatenlinie, oder es ist P P" J_ x; um- gekehrt, wenn P P" J_ a;, so stellen P' und P" einen^ Funkt P im Baume dar, weil sich dann, und nur unter dieser Bedingung, in der ursprünglichen Lage der Ebenen die Projicirenden treffen. Diese Sätze gelten auch bei geneigter Lage von P^ gegen Pg. Fig. 2 zeigt die zur -Deckung gebrachten Pro- jektionsebenen in der Fläche des Papiers. Bei den Konstruktionen dürfen abgesehen von den Ordinaten- linien, nur gleichnamige Projektionen mit einander verbunden wer- den, d. i. erste mit ersten und zweite mit zweiten. Zur Vorstellung
II, 59—62. Darstellung des Panktes.
65
der Raumgebilde denkt man sich die Projektionsebenen wieder in ihre ursprüngliche gegenseitige Lage zurückgeführt.
60. Die beiden Projektionsebenen teilen den Baum in vier Quadranten^ wodurch zunächst vier verschiedene Lagen eines Punktes anterschieden sind. In Fig. 3 ist A Fig. 3. ^ig- s. ein Punkt des Quadranten + P^ + Pg, ♦Tft £, C, D, bezw. des + Pg — ^i?
Liegt ein Punkt in P^, so be- findet sich offenbar P" auf rr, liegt P in Pj, so ist P' auf a?; und um- gekehrt, befindet sich P' oder P"
auf Xy so liegt P in Pg, bezw. in P^. Demgemäß liegt i? in + Pj, 2^ in — Pj, G endlich liegt auf x und fallt mit seinen beiden Pro- jektionen zusammen.
61. Weiter versteht man unter den Hälbirungsebenen diejenigen durch die Axe gehenden Ebenen, welche die Winkel der Projektions- ebenen halbiren; die erste Halbirungsebene H^ ist diejenige, welche die Scheitelwinkel + ^i + ^2 ^^^^ — ^i — ^2> ^i® zweite Hj die- jenige, welche die Winkel -f^P« — ^i ^^^ — ^2 H" ^i halbirt. Die beiden Abstände eines jeden Punktes der H^ sind einander an Größe und Vorzeichen gleich, diejenigen eines Punktes der Hg an Große gleich und an Vorzeichen entgegengesetzt. Nach der Umlegung der Projektionsebenen in einander liegen daher die Projektionen eines Punktes H der H^ symmetrisch in Bezug auf x, diejenigen eines Punktes J der Hg fallen zusammen. Umgekehrt: Liegen die beiden Projektionen eines Punktes symmetrisch in Bezug auf x, oder fallen sie zusammen, so liegt der Punkt in H^, bezw. in Hg.
62. Häufig ist es vorteilhaft, neue ProjekHonsAenen Pg, P^ . . . anzunehmen. Man legt sie meist senkrecht auf eine der früheren
Tafeln, oder wenn es notwendig ist, sie schief Fig. 4.
ZQ legen, benutzt man eine Hilfstafel, welche zu- gleich auf einer der früheren und auf der neuen senkrecht steht. Steht eine vierte Tafel P4 (die dritte soll nachher anders verwendet werden) etwa auf P| senkrecht, so bildet ihre Schnitt- linie eine Projektionsaxe, die mit x^^ bezeichnet sei. Man legt dann P4 in Pj um, wobei die Pro- jektion eines Punktes P auf P^, d. i. die vierte Projektion P^^, so zu liegen kommt, daß P'P^ _La;i4 und daß der Abstand des P^^ von x^^ gleich dem ersten Abstände des P ist, also gleich dem Abstände des P" von der
Wiener, Lehrbuch der daratellenden Geometrie. 5
Fig. 4.
66 n, 62 — 63. Punkt, Gerade nnd Ebene in senkrechter Projektion etc.
Fig. 5.
ursprünglichen Axe, die jetzt mit a;,^ bezeichnet sei Durch den Sinn, in welchem man diesen Abstand von x^^ aus aufträgt.^ ist der Drehungssinn beim Umlegen von IP4 in Pj angegeben. — Steht die weitere Tafel F5 auf Pj setikrecht und wird dann auch in letztere umgelegt, so ist P" P^ _L x^^ und der Abstand des P^ von x^^ gleich demjenigen des P' von x^^.
Am häufigsten wird eine weitere Tafel senkrecht auf die beiden ersten, also auch ±. aj^g gestellt. Sie heißt dann die drüte Projek- tionsebene, die Kreuzriß- oder Seitenebene P3. Man kann sie in Pj oder in Pg umlegen; in der Figur ist das erstere durch Drehung um a;|3 geschehen. P"' ist dann die dritte oder Seitenprojektion oder der Kreuzriß des Punktes.
63. Die Anordnung der drei auf einander senkrechten Projek- tionsebenen führt zur Festlegung eines Punktes P im Räume durch . Pj g Koordinaten, Die drei Tafeln (die
aber auch gegen einander geneigt sein dürfen) heißen dann die Koordinatenebenen, ihre Schnitt- linien die^ Koordinatenax^ , ihr gemeinschaftlicher Punkt 0 der Ursprung der Koordinaten. Die Ajce P, Pj sei mit OX oder a;, die P^Pj mit 0 Y oder y, die Pgj mit OZ oder z bezeichnet; Pi, Pg, P^ sind daher bezw. die Ebenen XOY oder xy XOZ oder xz, YOZ oder yz. Um von einem gegebenen Punkte P die Koordinaten zu be- stimmen^ lege man durch P drei mit den Eoordinatenebenen parallele Ebenen. Diese sechs Ebenen schließen ein in unserem Falle recht- winkliges Parallelepipedum ein, welches drei mal vier unter ein- ander parallele und gleiche Kanten besitzt. Die mit x, y, z parallelen heißen bezw. die x-, die y- und die ;?- Koordinate von P. Man be- merkt, daß zwei gegenüberliegende Eckpunkte des Parallelepipedums 0 und P sind, drei andere Eckpunkte die Projektionen P', P", P'"^ und die drei letzten die Punkte auf den Axen, P,, Py, P., deren erster früher mit P® bezeichnet wurde. Es ist daher x^= OPx = P'^P'^ dem dritten Abstände, y ^= 0 Py ^==^ P" P = dem zweiten Abstände, z ^ OPz = P' P = dem ersten Abstände. Auf jeder Axe unterscheidet man von 0 aus den positiven und den negativen Sinn. Es wurde schon angenommen + z und — e nach oben, bezw. unten, + y und — y nach vorn, bezw. hinten.
11, 63—65. Darätellung der Geraden.
67
Fig. 6.
P'"r
//
X
/».
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r— TP'
■'y V
ST
Tf} ->'
und wir fügen noch hinzu, + x und — x nach rechts, bezw. links. -^ Man sieht, daß ein Punkt durch seine drei Koordinaten bestimmt ist, weil dies für jenes Parallelepipedum gilt.
Zur Darstellung legt man in die erste oder zweite Tafel die beiden andern um. In Fig. 6 ist erst F3, dann P^ ^^ ^2 umgelegt fjs- c Die X- und die z Axe der P^ treten dann nur einmal auf, die y Axe legt sich mit F3 in die x Axe als y'\ und mit F^ in die z Axe als y, was mit den verschie- denen yorzeichen in der Figur angege- ben ist. Der Zusammenhang von P', P", P"' ist ebenfalls ausgedrückt.
Gebraucht man diese drei Projek- tionsebenen, so treten drei Paare von Halbirungsebenen auf, welche bezw. durch Xy y, z gehen und entsprechend wie in Nr. 61 mit H Hy2, H«|, Hx2 bezeichnet werden können. Die beiden ersten stimmen mit Hj und H^ der Nr. 61 überein. Diejenigen unter ihnen liefern die frühere Beziehung, um deren Axe eine Umlegung geschah, also in imserem Falle H, und H,. Liegt P in Hy^ oder in H^,, so hal- birt OP" den Winkel + XO + Z, bezw. — XO + Z.
64. Übungsaufgaben. Die drei Projektionen der Punkte Ä, B .,, zu zeichnen, deren Koordinaten x, y, z nach einem passenden Maß- stabe sind für:
-4(+l, +3, -f 4), jB(+2, +5, -3), C(-f 3, -6, -3),
2)(H.4, -5, +5), ^(-2,-3,0), F(_4,0, -6).
'i;
^«2, "Biyit
n. Darstellung der Geraden.
65. Die Projektion einer Linie ist die Gesamtheit der Pro- jektionen ihrer Punkte. Die projicirenden Strahlen der Punkte irgend einer Linie sind als Senkrechte zur Projektionsebene F unter ein- ander parallel, bilden daher einen Cylinder, den prcjicirenden CyUn- der^ dessen Schnitt mit der F die Projektion der Linie bildet. Ist die Linie eine Gerade g, so wird jener Cylinder, außer wenn 9 J. F steht^ zu einer Ebene, der projicirenden EbenCy deren Schnitt mit F die Projektion g von g ist und eine Gerade bildet. Daher ist die Projektion einer Geraden g im allgemeinen wieder eine Gerade g\ nur in jenem Falle, daß ^ J- F, enthält die g alle Projicirenden und g' wird ein Punkt. — Offenbar ist auch umgekehrt jeder Punkt der Projektion einer Linie die Projektion eines Punktes der Linie.
Jede Gerade g hat eine einzige Uerade g' zur Projektion auf
/
68 U, 65—66. Pankt, Gerade und Ebene in senkrecbter Projektion etc.
eine gegebene Ebene F, aber eine Gerade ^' in F ist die Projektion jeder Geraden g^ die in der durch g senkrecht zu F gelegten Ebene (der projicirenden) liegt, nur darf nicht g A-'B sein. Eine Gerade g ist daher durch ihre Projektion g' nicht bestimmt, so lange g' eine Gerade ist; wird die Projektion ein Punkt, so ist durch ihn die g bestimmt. Um daher eine Gerade g in einer allgemeinen Lage zu bestimmen, gibt man ihre Projektionen g' und g' auf zwei unter einander nicht parallele, PI ^ in unserem Falle auf einander senkrechte
Projektionsebenen F^, bezw. Fj an; ^' und g" bestimmen dann die g als die SchnitÜinie der beiden projicirenden Ebenen im allge- meinen, und nur nicht in dem besonderen Fig. 7. ^^,, Ä / y^ ! Falle, in welchem diese Ebenen zusammen-
fallen; dies tritt aber ein, wenn beide pro- jicirende Ebenen J_ x stehen, wenn also g in einer zu x senkrechten Ebene liegt, g' und g" daher ebenfalls J_ x stehen und sich in x /■''' treffen. Wir werden hierauf zurückkommen.
' * Die Projektionen einer durch zwei Punkte
P und Q gelegten Geraden g sind offenbar g =» P' (^ und
66. Der Schnittpunkt einer Geraden g mit einer Projektions- ebene heißt ihre Sptir, ihr Durchgang, ihre Trace; der Schnittpunkt mit F^ und F^, bezw. die erste und zweite Spur G^ und G^, G^ ist auch der Schnitt von g mit g\ G^ von g mit g",
Äufg, Von einer durch ihre beiden Projektionen g' und g' ge- gä^enen Geraden g die beiden Spuren G^ und G^ und ihre Schnitt- punkte G^ und G^ mit den Halbirungsebeneti Hj^ und ^ zu be- stimmen. Fig. 7. Aufl. Von G^ muß die zweite Projektion G/' auf g" (65) und auf x (60) liegen; daher ist G^" der Schnittpunkt von g" und X] Gl liegt auf g' und mit Gj" auf einer Ordinatenlinie, ist daher ebenfalls bestimmt. Ebenso ist G2 der Schnittpunkt von g' und X, G^ der Schnittpunkt von g" mit der Ordinatenlinie durch G^'. — Der Schnittpunkt G3 von g mit Hj muß zwei zu x* symme- trische Projektionen G^^G^' haben, so daß G^ G^' von ^ in X halbirt wird, X liegt daher auch auf der (nicht gezeichneten) Ver- bindungslinie der Mitten von G^ G/' und G^ Gg" und daher auch auf der Geraden G^' G^'* Ist daher G^ G^' || x, so ist g || Hj. G^ ist durch den Schnittpunkt von g und g' dargestellt, in welchem G/ und Cr/' vereinigt sind. Ist daher g' || g\ so ist g || H^.
Die umgekehrte Aufgabe^ aus den gegebenen Spuren 6/ und
/
II, 66—68. Darstellang der Geraden. 69
Gj" einer Geraden ihre Projektionen zu bestimmen, löst man dadurch y daß man auf x vermittelst Ordinatenlinien die Punkte Gj" aus (?/ und G^ aus G^' bestimmt; dann ist G^ G^ = g\ G^' G^' «= g\
67. Die Begd des Ausisiehens der Linien, Um die Figur an- schaulich zu machen ; unterscheidet man verschiedene Arten von Linien, die man im Zeichnen verschieden behandelt. Hauptlinien sind solche, die d^ch die Aufgabe gegeben oder gefordert sind; alle anderen sind Hilfslinien, Die Hauptlinien werden durch einen vollen Strich ausgesogen, wenn sie sichtbar, punktirt, wenn sie durch Flächen, die zwischen ihnen und dem Auge liegen, verdeckt sind. Hilfslinien werden, ob sichtbar oder verdeckt, gestrichelt und zwar mit abgebrochenen kleinen Strichen, die feiner als die Hauptlinien sind; oder auch strichpunktirt, wenn sie hervorgehoben werden sollen. Steht eine Farbe zu Gebot, so werden sie auch mit dieser (z. B. mit einer Mischung von Karmin, und Zinnober oder mit Blau) in vollem Strich aber fein ausgezogen, wodurch gegen das Stricheln Zeit er- spart wird, wenn nicht sogen. Punktirfedern*) oder Punktirlineale**) zur Verfügung stehen.
Hauptlinien können durch die Tafeln zugedeckt werden. Des- wegen sind Gl G^^ als unter P^ gelegen, und g' von 6r/' aus gegen *'*8-7- rechts, als von P^ verdeckt, punktirt. Der auf — Pjj liegende Teil von /' (nämlich G^G^') stellt einen vor P^ liegenden Teil der g dar, ist also bei der ursprünglichen Stellung der Tafeln sichtbar; beim Umlegen wird er aber samt der ganzen — P^ von -f- P^ zu- gedeckt. Das Entsprechende gilt von dem auf — P^ (rechts von G2') liegenden Teile von g\ Daher kommt es, daß von einer Geraden g nur dasjenige Stück in jeder der beiden Projektionen ausgezogen wird, ^, welches in dem Quadranten + Pi + P» liegt.
68. Die verschiedenen Lagen der Ge- raden. Ist g gegen beide Tafeln geneigt, so kann die Strecke zwischen ihren Spuren in jedem der vier Quadranten liegen; in
Fig. 8 liegt sie in demjenigen — P, -|- Pg. "^ ^^- ^'
Schneidet ^ die o;, so treffen sich g' und g" auf X,
*) Von E. 0. Richter in Chemnitz. **) Von Wißmann und Wallegg in Frankfurt a. M.
70 n, 68—69. Punkt, Gerade und Ebene in senkrechter Projektion etc.
|
Fig. 9. G^ G^ Sf' G^ "T< ^ 1 1 \ ! ^v 1 ^. ] \ ^ 1 |
Fig. |
10. r |
|
\ 1 \ 1 ! X ^.l \j |
1 • |
|
|
\i |
1 Gr.Q' |
o
Fig. 11.
Fig. 9. Flg. 9. * lg- !"• Ist (/ J P, , 80 ist die zweite pro-
jicirende JEbene || P, , (f || a;, die Spur Gl unendlich fern und g || g, Ist umgekehrt g' || a?, so ist g \ Pj. Für g II P2 ist g' \ x^ G^ unendlich fern, if \ g, Ist r/ |1 x, so \%ig || g' \ x, Fig. 10. \ ! ^A nf Gl und G2 sind unendlich fern. Ist
^ J_ P,, so ist g' ein Punkt, g"JLX\ ist r/ JL P^, so ist g' ein Punkt und g ±x. ^i?. 11 Ä?^ Liegt eine Gerade in einer zur Axe senk-
rechten Ebene, so liegen beide Projektionen g' und (/" in einer zu x senkrechten Geraden und bestimmen die g nicht (65). Dieselbe wird aber stets be- stimmt durch die Projektionen zweier ihrer Punkte P und Q, aus welchen man dann auch in bekannter Weise die dritte Projektion g" = P"' Q'" alj- leiten kann. Aus dieser ergeben sich die Spuren G^ fi^ und die Punkte ^3, (r^ . Umgekehrt: Steht die eine Pro- jektion einer Geraden auf der Axe senkrecht, so gilt dies auch von der Geraden selbst und von der anderen Projektion, oder es ist diese ein Punkt, Nach dem Umlegen der Projektions- ebenen fallt eine Projektion in die andere Weiter ergibt sich: Zwei beliebige Gerade in den in ein- ander umgelegten Tafeln können als die beiden Projektionen einer Geraden angesehen werden, außer wenn die eine senkrecht auf der Axe oder ein Punkt ist. 69. Übungsaufgaben,
1) Gegeben zwei Punkte P(l, — 2, — 4) und Q (5, 3, — 1); gesucht die drei Projektionen und die drei Spuren der durch sie gelegten Geraden g.
2) Gegeben von einer Geraden g die Koordinaten der Spuren (tj (0, — 5, 0), (tj (ß, 0, — 2); gesucht die Projektionen g\ g\
3) Gegeben von einer zu Pj parallelen Geraden g die Koordi- naten eines Punktes P(2, 5, — 3) und von ihrer zweiten Spur G^ die a; = 6; gesucht die Projektionen g\g\
4) Gegeben von einer zu Pg senkrechten Geraden g die Koor-
If, I
—70. DarstelluDg der Ebens.
71
dinateo der zweiten Spur Gj (0, 0, — 3); gesucht die Projek- tionen ^, g".
5} Gegeben von einer in der Halbirungsebene Hj oder H, liegenden Geraden g die eine Projektion ij, gesucht die andere g".
ni. DarsteUnug der Ebene. 70. Eine Ehene kann man im allgemeinen nicht durch ihre Projektion, d. i. durch die Projektionen aller ihrer Punkte darstellen, weil diese im allgemeinen die ganze Projektionsebene erfüllen. Man ' stellt aie durch die Projektionen dreier ihrer Punkte oder zweier in ihr liegenden Geraden dar, welche sich im Endlichen schneiden oder parallel sind. Als diese Geraden wählt man gewöhnlich in ein- facher Weise ihre Spuren, das sind ihre Schnittlinien mit den Pro- jektionsebenen. Der Schnitt e, der Ebene E mit P, heißt ihre erste Fig. u oder Horieontalspur , ihr Fig. 12
Schnitt ^ mit Fg ihre ztoeite oder Verttkal^^r. Beide Spuren schneiden aich in dem Punkte E^ der Axe, in welchem B die X trifft. In Fig. b) ist die schiefe Projektion der Ebene E, begrenzt durch Linien parallel zu e, ,bezw. «2, Terzeitfhnet. Die Maße
sind Ton Fig. a) mittelst der Strecken E^A, AB und Ä C übertragen.
Verschiedene Lagen der Ebene. Man sieht leicht ein, daß wenn B auf F, senkrecht steht, ihre e^ A-X ist, und umgekehrt. In diesem Falle ist die erste Spur e, zugleich die erste Projektion der ganzen Ebene. Entsprechend, wenn E _L F^, ist e, J_ x\ und wenn E J^ a;, sind e, und e^Xx.
Ist E II Fl, so ist Cg II X und e^ im Unend- lichen; ist E H Fg, so ist gj II X und e^ im Un- endlichen; und wenn E || x, so sind c, und e^ \ x. „,
Geht E durch x, so fallen beide Spuren in X zusammen und genügen nicht zur Bestimmung der E. Man gibt dann noch einen Punkt E der xe E durch E', E" an; die dritte Spur ^ =» OE'" ~ findet man dann dqrch die dritte Spur Odera: und
der parallel zu x durch E gelegten Geraden, E'"-.
Ä-'l-
72 n, 70—73. Pankt, Gerade und Ebene in senkrechter Projektion etc.
Ist endlich E parallel zu einer Halbirungsebene^ so sind beide Spuren || x ; nach dem Umlegen der einen Projektionsebene in die andere findet statt^ daß wenn E || H^ ist, ^^ und e^ in einander fallen, und wenn ES || H, ist, e^ und e^ symmetrisch in Bezug auf x liegen.
71. Übungsaufgaben.
1) Die drei Spuren der in Fig. 12 und 13 dargestellten Ebenen zu verzeichnen.
2) Die drei Spuren einer zu x parallelen Ebene zu bestimmen, welche a) durch die Punkte (0, — 5, 0) und (0, 0, — 5), oder b) durch die Punkte (0, — 5, 0) und (0, 0, + 5) geht.
rv. Gerade durch gegebene Funkte und Ebenen durch gegebene
Punkte und Gerade zu legen.
72. Um im Folgenden nicht bestandig für parallele Lagen von Geraden und Ebenen Ausnahmen aussprechen zu müssen, wollen wir den Begriff des unendticti Großen, insbesondere des unendlich fernen Punktes und der unendlich fernen Geraden einführen.
Man sagt, eine Größe wadise ins Unendlidie, wenn sie größer wird, als jede durch eine bestimmte Zahl angebbare Größe. Wir wollen zur näheren Unterscheidung sagen, eine solche Größe wachse ins unbestimmt Unendliche, oder sie werde unbestimmt unendlich groß. Wenn dagegen von einer Große x eine andere y abhängt, welche, während x von einem gewissen endlichen Werte an ins unbestimmt Unendliche wächst, sich einem gewissen endlichen Werte, ihrem Grenzwerte, beständig und bis zu jedem beliebigen Grade annähert, derart, daß der Unterschied von beiden kleiner als jede noch so kleine angebbare Zahl wird, so schreibt man auch diesem Grenzwerte von y einen Wert von x als zugehörig zu, den wir den bestimmt wnendlich großen Wert (oo) nennen wollen, weil ihm ein bestimmter Wert von y zugehört, man also mit ihm wie mit einem bestimmten endlichen Werte rechnen kann.
73. Sind eine Gerade g und ein nicht auf ihr liegender Punkt P gegeben, ist B der Fußpunkt der von P auf g. gefällten Seiikrechten, und läßt man einen Punkt Q sich von ü aus auf g in dem einen oder dem andern der beiden möglichen Sinne hinbewegen und un- bestimmt unendlich große Entfernungen annehmen, so nähert 'sich der Winkel der beweglichen Geraden PQ mit der PJB beständig einem Grenzwerte, nämlich 90*^, und die Gerade PQ einer Gren^lage, nämlich der zu g parallelen Geraden. Den zu jenem Grenzwerte gehörigen Ab- stand II Q nennt man nach der vorigen Nr. bestimmt unendlich
. groß, und den zur Grenzlage von PQ gehörigen Punltt Q den be- stimmt unendlich fernen oder kurzweg den unendlicfi fernen Punkt'
If, 73 — 7i. Gerade durch gegebene Punkte n. Ebenen durch gegebene Punkte etc. 73
der Geraden g. Läßt man sich Q in entgegengesetztem Sinne auf g unbestimmt ins Unendliche bewegen, so nähert sich PQ wieder einer Grenzlage. Weil aber beide Grenzlagen in der einzigen Ge- raden zusammenfallen, welche durch P parallel zu g gelegt werden kann, so schreibt man der Geraden g nur einen einjsigen (bestimmt) unendlich fernen Punkt zu, ohne damit auszusagen, daß zwei Punkte, welche Anfangs zusammenfallend, sich dann in entgegengesetztem Sinne auf g hinbewegen, im Unendlichen wieder zusammentreffen. Im Gegenteil wächst ihr Abstand ins Unendliche. Man nennt den unendlich fernen Punkt einen uneigentlichen ^ weil er nicht, wie andere Punkte, durch einen angebbaren Abstand bestimmt oder durch eine Eörperecke bezeichnet werden kann. Da die bewegliche Gerade PQ durch den beweglichen Punkt Q der g geht, und der (parallelen) Grenzlage der unendlich ferne Punkt der g als ent- sprechend zugewiesen wird, so sdhreibt man zum parallelen Geraden einen gemeinschaftlichen unendlich fernen Punkt zu. Man sagt auch, daß beide Gerade dieseU)€ Biditung besitzen. Würde man im Ge- genteile zwei parallelen Geraden zwei unendlich ferne gemeinschaft- liche Punkte, ei^en auf jeder Seite, zuschreiben, so würden hier zwei Gerade nicht zusammenfallen, obgleich sie zwei Punkte gemein haben.*) 74. Sind eine Ebene E und ein nicht in ihr liegender Punkt P gegeben, und man zieht durch P eine Parallele g mit einer be- liebigen Gerade^ h der E, legt die Ebene gh und läßt die h durch Parallelverschiebung in der £ im einen oder andern Sinne sich ins unbestimmt Unendliche entfernen, so nähert sich die Ebene gh einer Grenzlage, nämlich der durch P gehenden zu E parallelen Ebene, und man schreibt dieser Grenzlage die bestimmt unendlich ferne
*) Im Gegensatze zur Geometrie der Ebene besteht eine Geometrie auf krummen Flächen, aus der hier ein Ergebnis für die sattelförmig gestaltete Fläche mit konstanstem, negativem Krümmungsmaße wegen seines Gegensatzes za dem obigen Ergebnisse angeführt werden soll. Die kürzeste Linie auf dieser Fläche zwischen zwei Punkten derselben, welche auch über diese Punkte hin- aus ins Unendliche fortgesetzt werden kann, heißt die geodätische Linie; sie ist durch zwei Punkte der Fläche bestimmt, und wurde wegen dieser über- einstimmenden Eigenschaft mit der Geraden einer Ebene, auch eine gerade oder geradeste Linie jener Fläche genannt. Nun nimmt in der bezeichneten Fläche eine geodätische Linie, welche einen Punkt P mit einem beweglichen Punkte Q einer nicht durch P gehenden geodätischen Linie g verbindet, zweier- lei Grenzlagen an, je nachdem man Q in dem einen oder in dem anderen Sinne auf p hin ins Unendliche rücken läßt; und deswegen schreibt man jeder geodätischen Linie, im Gegensatz zu der Geraden, ^wei bestimmt unendlich ferne Punkte zu. Vene zwei Grenzlagen der P Q nennt man die beiden durch P gehenden Parallelen zu ^; sie trennen die durch P gehenden geodätischen Linie'ni welche die g schneiden, von denen, welche sie nicht schneiden.
74 n, 74—77. Pankt, Gerade und Ebene in Benkrecbter Projektion etc.
Lage der h als zugehörig zu. • Da aber bei jeder Richtung der h in E die Grenzlage der Ebene gh ein und dieselbe ist, nämlich die einzige durch P parallel zu E gehende Ebene, so schreibt man einer Ebene E nur eine einige unendlich ferne Gerade m, die der Schaar der Parallelen mit einer jeden Geraden der E angehört, oder deren Richtung in E unbestimmt ist. Die unendlich ferne Gerade einer Ebene ist eine uneigentliche Gerade und wird auch als die gemein- schaftliche Gerade zweier parallelen Ebenen bezeichnet. Man schreibt parallelen Ebenen auch dieselbe Stellung zu.
76« Wir bedürfen für das Folgende einiger Sätze.
1) Parallele Gerade haben m gleichnamigen Projektionen im all- gemeinen parallele Gerade, weil ihre gleichnamigen projicirenden Ebenen parallel sind. Im Besonderen können die gleichnamigen Projektionen Punkte sein.
2) Umgekehrt: Sind die beiderlei gleichnamigen Projektionen von Geraden parallel, so sind auch die Geraden parallel, ausgenommen, wenn die Projektionen senkrecht auf der Axe stehen. Dann müssen noch die dritten Projektionen parallel sein, damit es die Geraden sind.
3) Parallele Ebenen haben die gleichnamigen Spuren parallel.
4) Umgekehrt: Sind zweierlei gleichnamige Spuren yon Ebenen parallel, so sind auch die Ebenen parallel,